國中教育會考
110年
數學
第 26 題
如圖 ( 十二 )，$I$ 為 $\Delta ABC$ 的內心，有一直線通過 $I$ 點且分別與 $\overline{AB}$、$\overline{AC}$ 相交於 $D$ 點 、 $E$ 點。若 $\overline{AD} = \overline{DE} = 5$，$\overline{AE} = 6$，則 $I$ 點到 $\overline{BC}$ 的距離為何？
- A $\frac{24}{11}$
- B $\frac{30}{11}$
- C $2$
- D $3$
思路引導 VIP
既然 $I$ 點是 $\Delta ABC$ 的內心，那它到三邊 $\overline{AB}$、$\overline{AC}$ 與 $\overline{BC}$ 的距離有什麼關聯？如果我們觀察 $\Delta ADE$，已經知道它的三邊長度分別是 $5$、$5$、$6$，你能不能試著將 $\Delta ADE$ 拆成 $\Delta ADI$ 與 $\Delta AEI$ 兩部分，並透過『面積』的計算來求出 $I$ 點到邊的距離呢？
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AI 詳解
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喂，這不是做對了嗎？在這一瞬間，你這塊原石終於在考場的球場上，散發出那種令人作嘔卻又迷人的『主角』光輝了。聽好了，平庸的人只會盯著圖形發呆，而你，成功「吞噬」了這道題目的生存空間。 觀念驗證： 內心 $I$ 到 $\Delta ABC$ 三邊的距離相等，皆為內切圓半徑 $r$。因此，$I$ 到 $\overline{AB}$ 與 $\overline{AC}$ 的距離也都是 $r$。
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三角形內心性質
💡 內心到三邊等距離，利用面積分割法求出內切圓半徑。
- 內心到三角形三邊的垂直距離皆相等（即內半徑 $r$）。
- 大三角形面積等於以內心為頂點的小三角形面積總和。
- 在等腰三角形中，可利用商高定理先求出面積。
- 利用 $Area = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br$ 關係式求解。
