國中教育會考
113年
數學
第 22 題
如圖 ( 十四 )，$\Delta ABC$ 內部有一點 D，且 $\Delta DAB$、$\Delta DBC$、$\Delta DCA$ 的面積分別為 5、4、3 。若 $\Delta ABC$ 的重心為 G，則下列敘述何者正確？
- A $\Delta GBC$ 與 $\Delta DBC$ 的面積相同，且 $\overline{DG}$ 與 $\overline{BC}$ 平行
- B $\Delta GBC$ 與 $\Delta DBC$ 的面積相同，且 $\overline{DG}$ 與 $\overline{BC}$ 不平行
- C $\Delta GCA$ 與 $\Delta DCA$ 的面積相同，且 $\overline{DG}$ 與 $\overline{AC}$ 平行
- D $\Delta GCA$ 與 $\Delta DCA$ 的面積相同，且 $\overline{DG}$ 與 $\overline{AC}$ 不平行
思路引導 VIP
首先，根據題目給的三個小三角形面積，你能算出整個 $\Delta ABC$ 的總面積是多少嗎？接著回想一下，三角形的「重心」會如何分割整個三角形的面積呢？算出 $\Delta GBC$ 的面積後，試著將它與題目給的 $\Delta DBC$ 面積做比較，並觀察它們共用的底邊，你覺得頂點 $D$ 和 $G$ 的位置會有什麼特殊的幾何關係？
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太棒了，你精準地選出了正確答案！這題考驗了對三角形重心的深刻理解。 我們知道重心 $G$ 的一個重要幾何性質，就是它會將整個大三角形平分成三個面積相等的小三角形。從題目給的條件來看，$\Delta ABC$ 的總面積是 $5+4+3=12$，所以被重心分割出來的 $\Delta GAB$、$\Delta GBC$ 與 $\Delta GCA$，它們的面積都會剛好是 $12 \div 3 = 4$。
同底等高與平行線的奧秘
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重心是什麼
三角形重心與面積
💡 重心將三角形面積三等分，同底等高之頂點連線必平行。
- 重心與三頂點連線，可將原三角形面積三等分。
- 同底且面積相等的三角形，其頂點連線與底邊平行。
- 利用點到邊的距離（高）相同，推導出線段平行關係。
