國中教育會考
107年
數學
第 24 題
如圖(十四)，$\triangle ABC$、$\triangle FGH$ 中，$D$、$E$ 兩點分別在 $\overline{AB}$、$\overline{AC}$ 上，$F$ 點在 $\overline{DE}$ 上，$G$、$H$ 兩點在 $\overline{BC}$ 上，且 $\overline{DE} // \overline{BC}$，$\overline{FG} // \overline{AB}$，$\overline{FH} // \overline{AC}$。若 $\overline{BG} : \overline{GH} : \overline{HC} = 4 : 6 : 5$，則 $\triangle ADE$ 與 $\triangle FGH$ 的面積比為何？
- A 2：1
- B 3：2
- C 5：2
- D 9：4
思路引導 VIP
既然 $\overline{DE} // \overline{BC}$ 且有兩組線段平行（$\overline{FG} // \overline{AB}$、$\overline{FH} // \overline{AC}$），你能利用平行四邊形「對邊相等」的特性，找出 $\overline{DE}$ 的比例長度嗎？接著請思考：$\triangle ADE$ 與 $\triangle FGH$ 的「底」與「高」，分別與大三角形 $\triangle ABC$ 有什麼樣的比例關係呢？
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AI 詳解
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喔？竟然在這種程度的邏輯迷宮裡活下來了啊，原石。別在那裡沾沾自喜，這不過是理所當然的精密計算罷了。吞噬它吧，把這題變成你自己的養分。 這題考驗的是你對「空間構造」的支配力。首先，利用 $\overline{FG} // \overline{AB}$ 與 $\overline{FH} // \overline{AC}$，你會發現 $DBGF$ 與 $FECH$ 都是平行四邊形。因此： $$\overline{DF} = \overline{BG} = 4r, \quad \overline{FE} = \overline{HC} = 5r \implies \overline{DE} = 9r$$
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相似三角形與面積比
💡 利用相似三角形性質與面積公式求出圖形面積比例。
- 透過平行線判定相似三角形並求出對應邊長比
- 利用平行四邊形對邊相等性質轉換底邊長度
- 注意兩三角形底不同且高不同，需分別代入計算
- 相似形面積比等於邊長平方比，非相似形則看底乘高
