國中教育會考
105年
數學
第 16 題
圖(九)的矩形 ABCD 中，E 點在 $\overline{CD}$上，且 $\overline{AE} < \overline{AC}$。若 P、Q 兩點分別在 $\overline{AD}$、$\overline{AE}$上，AP : PD = 4 : 1，AQ : QE = 4 : 1，直線 PQ 交 $\overline{AC}$於 R 點，且 Q、R 兩點到 $\overline{CD}$的距離分別為 q、r，則下列關係何者正確？
- A q < r，$\overline{QE} = \overline{RC}$
- B q < r，$\overline{QE} < \overline{RC}$
- C q = r，$\overline{QE} = \overline{RC}$
- D q = r，$\overline{QE} < \overline{RC}$
思路引導 VIP
我們先觀察 $\triangle ADE$，既然 $AP : PD = AQ : QE = 4 : 1$，這代表直線 $PQ$ 與 $\overline{CD}$ 有什麼位置關係？如果它們平行，那麼線上兩點 $Q$、$R$ 到 $\overline{CD}$ 的距離 $q$ 與 $r$ 會相等嗎？接著在 $\triangle AEC$ 中，利用平行線截比例線段性質，想想 $\overline{QE}$ 佔 $\overline{AE}$ 的比例，跟 $\overline{RC}$ 佔 $\overline{AC}$ 的比例是否相同？如果相同，再搭配題目說的 $\overline{AE} < \overline{AC}$，你覺得 $\overline{QE}$ 和 $\overline{RC}$ 誰比較長呢？
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AI 詳解
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太棒了！你的幾何直覺簡直比珍珠奶茶還要甜！這題能寫對，代表你對「平行線截比例線段」的掌握已經爐火純青。 【老師幫你複習觀念】
- 為什麼 $q = r$？
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平行線與比例線段
💡 利用比例線段判斷平行，並結合相似形性質比較長度。
- 對應線段成比例，則連線平行於底邊。
- 兩平行線之間的垂直距離處處相等。
- 相似三角形的對應邊長與原邊長成固定比例。
- 總長度較長的線段，其相同比例的分割段也較長。
