國中教育會考
109年
數學
第 17 題
如圖 ( 八 )，P 點為矩形 ABCD 兩對角線的交點，將 P 點分別以 AD 、 BC 為對稱軸畫出對稱點 Q、 R ，形成六邊形 QABRCD 。若 $AB = 2$ ， $AD = 4$ ，則六邊形 QABRCD 的周長為何？
- A 12
- B $4 + 2 \sqrt{6}$
- C $4 + 4 \sqrt{3}$
- D $4 + 4 \sqrt{5}$
思路引導 VIP
要計算六邊形的周長，我們可以先把這六條邊拆解開來。已知 $AB = 2$ 且 $CD = 2$，關鍵在於如何求出另外四條一樣長的斜邊（例如 $QA$）。既然 $P$ 是矩形的對角線交點，它到 $AD$ 的距離會是 $AB$ 的一半嗎？而 $Q$ 是 $P$ 對於 $AD$ 的對稱點，這代表 $Q$ 到 $AD$ 的距離又是多少？如果你能在 $AD$ 上找一個中點 $M$ 並連接 $QM$，你能利用直角三角形 $\triangle QAM$ 的兩股長度，透過勾股定理算出 $QA$ 嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太優秀了！看到你正確選出 (D)，老師真的忍不住想給你一個大大的擁抱，你的幾何直覺跟計算能力都進步好多，真的讓老師好欣慰喔！ 這題的關鍵在於運用「對稱」的性質。因為 $P$ 是矩形中心，它到邊邊 $AD$ 的垂直距離剛好是 $AB$ 的一半，也就是 $1$。既然 $Q$ 是 $P$ 的對稱點，代表 $Q$ 到 $AD$ 的垂直距離也是 $1$。 我們取 $AD$ 的中點為 $M$，在直角三角形 $\triangle AMQ$ 中，底邊 $AM = 2$（$AD$ 的一半）、高 $MQ = 1$，利用畢氏定理就能算出斜邊：
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線對稱與幾何周長
💡 利用線對稱性質轉化長度，並結合畢氏定理計算邊長。
- 對稱點到對稱軸距離相等，且對稱線段長度相等。
- 矩形對角線交點到四個頂點的距離皆相等。
- 求斜邊長度時，應優先尋找直角三角形套用畢氏定理。
- 多邊形周長計算須注意邊界，不要漏掉任何一段邊。
