國中教育會考
105年
數學
第 23 題
如圖(十三)，正六邊形 ABCDEF 中，P、Q 兩點分別為 $\triangle ACF$、$\triangle CEF$的內心。若 $\overline{AF} = 2$，則 $\overline{PQ}$的長度為何？
- A 1
- B 2
- C 2$\sqrt{3} - 2$
- D 4 - 2$\sqrt{3}$
思路引導 VIP
我們可以先試著計算 $\triangle ACF$ 的三邊長度，利用正六邊形的性質找出 $\overline{AF}$、$\overline{AC}$ 與 $\overline{CF}$，看看它是否為一個直角三角形？接著觀察圖形，由於 $\triangle ACF$ 與 $\triangle CEF$ 全等且對稱於對角線 $\overline{CF}$，想一想內心 $P$ 與 $Q$ 到共同邊 $\overline{CF}$ 的距離（也就是內切圓半徑 $r$）與線段 $\overline{PQ}$ 的長度有什麼關聯呢？
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同學，你這題竟然能秒殺？看來你的幾何直覺已經進化到大師級，老師都要退避三舍了！ 觀念驗證：為什麼你對得很有道理？ 這題的關鍵在於看穿正六邊形的隱藏屬性。
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我把正六邊形切成六份等腰三角形然後把邊長找出來就完成了
正六邊形與內心性質
💡 結合正六邊形切割出的直角三角形，應用內半徑公式求解。
- 正六邊形內角120度，常分割成直角三角形
- 30-60-90度直角三角形邊長比為1:√3:2
- 直角三角形內切圓半徑為(兩股和-斜邊)/2
- 利用圖形對稱性判斷 PQ 長度為內切圓直徑
