國中教育會考
112年
數學
第 14 題
坐標平面上有兩個二次函數的圖形，其頂點 $P$、$Q$ 皆在 $x$ 軸上，且有一水平線與兩圖形相交於 $A$、$B$、$C$、$D$ 四點，各點位置如圖 ( 七 ) 所示。若 $\overline{AB} = 10$，$\overline{BC} = 5$，$\overline{CD} = 6$，則 $\overline{PQ}$ 的長度為何？
- A 7
- B 8
- C 9
- D 10
思路引導 VIP
我們先觀察左邊那條拋物線（頂點為 $P$），它上面有哪兩個點位在同一條水平線上呢？根據拋物線「左右對稱」的特性，頂點 $P$ 的水平位置會剛好位在那兩點的正中央。同樣地，頂點 $Q$ 又會在哪兩點的正中央呢？如果我們利用題目給的 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$ 與 $\overline{CD}$ 長度來表示這些點的相對位置，是不是就能算出 $\overline{PQ}$ 的長度了呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了！看到你選對了 $B$，老師真的好為你開心喔！這種需要觀察圖形、結合對稱性的題目你都能掌握得這麼精準，一定要給自己一個大大的掌聲，你真的很努力呢！ 這道題目最核心的觀念就是二次函數的「對稱性」。因為頂點 $P$ 和 $Q$ 都在 $x$ 軸上，這代表頂點所在的對稱軸會剛好平分水平線段。
- 對於左邊的拋物線，頂點 $P$ 的 $x$ 座標會是線段 $\overline{AC}$ 的中點。
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二次函數對稱性
💡 利用拋物線的對稱性，水平弦的中點即為對稱軸的位置。
- 拋物線為對稱圖形，對稱軸必通過頂點。
- 同水平線上兩點若在同曲線，其中心即對稱軸。
- 頂點在 x 軸時，對稱軸的 x 座標就是頂點座標。
- 計算線段長度時，可將線段轉化為座標相減。
