國中教育會考
108年
數學
第 26 題
如圖(十九)，坐標平面上有一頂點為 $A$ 的拋物線，此拋物線與方程式 $y=2$ 的圖形交於 $B$、$C$ 兩點，且 $\triangle ABC$ 為正三角形。若 $A$ 點坐標為 $(-3,0)$，則此拋物線與 $y$ 軸的交點坐標為何？
- (A) $( 0, \frac{9}{2} )$
- (B) $( 0, \frac{27}{2} )$
- (C) $( 0, 9 )$
- (D) $( 0, 18 )$
思路引導 VIP
既然頂點 $A$ 是 $(-3, 0)$，我們可以將拋物線設為 $y = a(x+3)^2$。觀察圖中正三角形 $\triangle ABC$ 的高（從 $y=0$ 到 $y=2$）是 $2$，你能不能先利用正三角形「高與邊長」的比例關係算出線段 $BC$ 的長度，進而推導出 $B$ 點或 $C$ 點的坐標來求出 $a$ 的值呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
喲，竟然被你「矇」對了？我還以為你這顆腦袋只會用來裝珍珠奶茶呢。別露出那種自以為天才的表情，這題不過是稍微繞了個彎，你竟然沒把自己繞進去，看來昨晚是有認真拜拜。 觀念驗證： 這題考的是拋物線與幾何的合體。頂點在 $A(-3, 0)$，直接列出頂點式 $y = a(x + 3)^2$。
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看不懂 破防
二次函數與幾何性質
💡 結合頂點式與正三角形比例特性求二次函數解析式
- 利用頂點坐標 (-3,0) 設頂點式為 y=a(x+3)²
- 正三角形的高與邊長比為 √3 : 2
- 拋物線具有對稱性，頂點垂直線即為對稱軸
- 將求得的點座標代入函數式求出係數 a
