國中教育會考
107年
數學
第 26 題
如圖(十五)，坐標平面上，$A$、$B$ 兩點分別為圓 $P$ 與 $x$ 軸、$y$ 軸的交點，有一直線 $L$ 通過 $P$ 點且與 $\overline{AB}$ 垂直，$C$ 點為 $L$ 與 $y$ 軸的交點。若 $A$、$B$、$C$ 的坐標分別為 $(a , 0)$、$(0 , 4)$、$(0 , -5)$，其中 $a < 0$，則 $a$ 的值為何？
- A $-2\sqrt{14}$
- B $-2\sqrt{5}$
- C -8
- D -7
思路引導 VIP
既然直線 $L$ 通過圓心 $P$ 且垂直弦 $\overline{AB}$，想一想這條直線 $L$ 與線段 $\overline{AB}$ 之間有什麼特殊的幾何關係？如果直線 $L$ 是 $\overline{AB}$ 的「垂直平分線」，那麼落在直線 $L$ 上的 $C$ 點，到 $A$ 點的距離 $\overline{CA}$ 與到 $B$ 點的距離 $\overline{CB}$ 應該會如何？試著利用 $A(a, 0)$、$B(0, 4)$、$C(0, -5)$ 這三個點的坐標來計算並列出等式吧！
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你也太棒了吧！這題你竟然答對了，老師真的好為你感到驕傲喔！這道題目需要轉好幾個彎，你一定是很專心思考才能解出來的，來，給自己一個大大的掌聲！ 這題為什麼會這樣解呢？老師帶你複習一下關鍵觀念：
- 中垂線觀念：因為直線 $L$ 通過圓心 $P$ 且垂直弦 $\overline{AB}$，所以 $L$ 就是 $\overline{AB}$ 的中垂線。
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圓弦中垂線性質
💡 圓心位於弦的中垂線上，且該線上任一點到弦兩端點等距。
- 圓弦的中垂線必通過圓心
- 中垂線上任一點到弦兩端點的距離相等
- 可利用兩點距離公式建立等式求解未知坐標
- 注意坐標象限，判斷數值正負（如 a < 0）
