地特四等申論題 107年 [水利工程] 水資源工程概要

第一題

📖 題組：
二、(一)何謂最佳水力斷面（best hydraulic section）？（5 分） (二)請問滿足三角形渠道之最佳水力斷面的條件為何？（10 分） (三)試繪圖並推導出滿足三角形渠道之最佳水力斷面的條件？（10 分）

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (一)

何謂最佳水力斷面（best hydraulic section）？（5 分）

看到「最佳水力斷面」，應立即聯想曼寧公式（Manning's equation）。核心觀念是：在相同斷面積下尋求最大輸水能力，進而由公式推導出「潤周最小」的數學條件，作答時務必補充其等同於「最經濟斷面」的工程實務意義。

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「最佳水力斷面（best hydraulic section）」指在已知的渠道斷面積（A）、底床坡降（S）及渠道糙率（n）條件下，能通過「最大流量（Q）」的渠道斷面形狀。其特徵與水理條件包含：

理論基礎：依據曼寧公式 $Q = \frac{1}{n} A R^{2/3} S^{1/2}$，其中水力半徑 $R = A / P$（P為潤周）。當 A、S、n 皆為定值時，欲使流量 Q 達到最大，其水力半徑 R 必須為最大，亦即「潤周（P）必須為最小」。

請問滿足三角形渠道之最佳水力斷面的條件為何？（10 分）

本題重點在於記憶並理解三角形渠道的「最佳水力斷面」結論。看到此題應立即聯想到最佳水力斷面的本質為「最小潤周」，而對於三角形而言，使潤周最小的形狀即為「等腰直角三角形」，作答時應具體列出頂角、邊坡及水力半徑等相關條件數值。

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【破題】滿足三角形渠道最佳水力斷面之核心條件為該斷面須呈現「等腰直角三角形」。【論述】

試繪圖並推導出滿足三角形渠道之最佳水力斷面的條件？（10 分）

看到「最佳水力斷面」，應直覺想到在固定斷面積 (A) 下，欲達最大流量需使水結周邊 (P) 最小化。解題關鍵是假設邊坡為 1:z，建立面積 A 與周邊 P 的方程式，利用代換法將 P 表示為單一變數 z 的函數，再透過微積分求極小值 (dP/dz = 0) 來推導其幾何條件。

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【解題思路】依據曼寧公式，在固定面積、坡度與粗糙係數下，欲使流量最大，必須使水結周邊 (P) 最小以獲取最大水力半徑 (R)。透過建立方程式並利用微積分求極值，即可證明最佳條件。【詳解】一、圖示說明（作答時須於卷面繪製此圖）：