普考申論題
107年
[電力工程] 電子學概要
第 四 題
四、如圖四所示為一考畢茲晶體振盪器（Colpitts crystal oscillator）及其所用晶體（crystal）之小訊號等效電路模型（r 可以忽略不計）。試推導此振盪器之振盪頻率。而其中電晶體之小訊號模型可使用最精簡之模型；亦即無限大之輸入電阻及輸出端之受控電流源為 gm vπ，而電晶體之輸出電阻、振盪器之負載電阻及其他被動元件的非理想性以單一電阻 R 表示之。（20 分）
📝 此題為申論題
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本題為標準的考畢茲石英晶體振盪器（Colpitts crystal oscillator）分析。解題重點在於：1. 畫出最精簡的小訊號等效電路（忽略 $r_\pi$ 假設基極無電流）。2. 利用節點電壓法（KCL）列出基極與集極方程式，推導出迴路增益特徵方程式。3. 令方程式虛部為零求出維持振盪所需的晶體電抗，最後與晶體的等效阻抗模型匹配以解出振盪頻率。
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【解題思路】使用簡化的混合 $\pi$ 模型（hybrid-$\pi$ model）繪製小訊號等效電路，並利用節點電壓法（KCL）建立特徵方程式。藉由令特徵方程式之虛部為零，求得維持振盪所需的等效電抗，最後代入晶體等效電路推導出振盪頻率。 【詳解】 一、小訊號等效電路與節點方程式建立
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