高考申論題
107年
[核子工程] 原子物理
第 一 題
📖 題組：
三、一個粒子束縛於一維無限深方形阱內，阱寬為 L。阱內位能為 0，阱外位能為無限大，粒子只能移動於束縛的方向（x 方向）如圖示： (圖示：一維勢阱，x=0 到 x=L 之間 V(x)=0，其餘 V(x)=∞) 求證一維無限深方形阱的本徵值 En 與本徵函數 φn 分別為：
三、一個粒子束縛於一維無限深方形阱內，阱寬為 L。阱內位能為 0，阱外位能為無限大，粒子只能移動於束縛的方向（x 方向）如圖示： (圖示：一維勢阱，x=0 到 x=L 之間 V(x)=0，其餘 V(x)=∞) 求證一維無限深方形阱的本徵值 En 與本徵函數 φn 分別為：
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
En = (n^2 h^2) / (8mL^2)。(12 分)
思路引導 VIP
本題為基礎量子力學必考推導題。看到無限深方形阱，首先應列出內部區域 (V=0) 的定態薛丁格方程式，並寫出正弦與餘弦組合的一般解。接著代入邊界條件 (x=0 與 x=L 處波函數為零) 來消去未知係數並導出波數 k 的量子化條件。最後將 k 代回動能公式，並把約化普朗克常數 ℏ 展開為 h/2π 即可完美證出。
小題 (二)
φn = sqrt(2/L) sin(nπx/L)。(18 分)
(n 是正值的整數，h 是普朗克常數，m 是粒子質量。)
思路引導 VIP
看到一維無限深方形阱，首先應列出定態薛丁格方程式與位能條件。接著利用波函數在邊界為零的條件求出波數與能量本徵值，最後透過歸一化積分求出波函數的振幅常數。