高考申論題
111年
[核子工程] 原子物理
第 一 題
📖 題組：
三、氫原子 1s 和 2s 軌域的波函數分別為：（每小題 10 分，共 20 分） ψ1s = (1/√π) * (a₀)^(-3/2) * e^(-r/a₀) ψ2s = (1/(2√2π)) * (a₀)^(-3/2) * (1 - r/(2a₀)) * e^(-r/(2a₀)) （一）證明 ψ1s 滿足歸一化條件：∫₀∞ ψ*ψ(r) 4πr² dr = 1 可使用積分式 ∫ x² e⁻ˣ dx = -e⁻ˣ (x² + 2x + 2) + C （二）由波函數計算 1s 和 2s 軌域在 r = 0 附近電荷密度的比值，ρ1s / ρ2s =？
三、氫原子 1s 和 2s 軌域的波函數分別為：（每小題 10 分，共 20 分） ψ1s = (1/√π) * (a₀)^(-3/2) * e^(-r/a₀) ψ2s = (1/(2√2π)) * (a₀)^(-3/2) * (1 - r/(2a₀)) * e^(-r/(2a₀)) （一）證明 ψ1s 滿足歸一化條件：∫₀∞ ψ*ψ(r) 4πr² dr = 1 可使用積分式 ∫ x² e⁻ˣ dx = -e⁻ˣ (x² + 2x + 2) + C （二）由波函數計算 1s 和 2s 軌域在 r = 0 附近電荷密度的比值，ρ1s / ρ2s =？
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
證明 ψ1s 滿足歸一化條件：∫₀∞ ψ*ψ(r) 4πr² dr = 1
可使用積分式 ∫ x² e⁻ˣ dx = -e⁻ˣ (x² + 2x + 2) + C
思路引導 VIP
看到波函數歸一化，應先列出球座標系下全空間積分的徑向部分 $4\pi r^2 dr$。將 $\psi_{1s}$ 代入積分式提出常數，並利用變數變換（令 $x = 2r/a_0$）將積分化為題目提示的標準形式來完成證明。
小題 (二)
由波函數計算 1s 和 2s 軌域在 r = 0 附近電荷密度的比值，ρ1s / ρ2s =？
思路引導 VIP
電荷密度（Charge density）與電子出現的機率密度成正比，即 ρ(r) ∝ |ψ(r)|²。要求 r = 0 附近的電荷密度比值，只需分別將 r = 0 代入給定的 1s 與 2s 波函數求取絕對值平方，再將兩者相除即可求得答案。