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高考申論題 107年 [機械工程] 自動控制

第 一 題

📖 題組：
如下圖左之線性系統中，其中u(t)為輸入，c(t)為輸出，g(t)為系統轉移函數，如果系統初始為靜止，而輸入u(t)=1時之系統輸出c(t)=1– e^{-3t}，t ≥ 0，試問： (一)當u(t)為任意時間函數時，其輸出為何？（8 分） (二)如圖右實施 Laplace 轉換求解C(s)時，其中G(s)為何？ u(t)的限制條件為何？（7 分） (三)該系統微分方程式為何？（5 分） (四)依據(一)的解，如果用數值模擬，讓 t = kT，3T≪1，寫成 c(k) = βc(k–1) +3Tu(k)，β 為何？（5 分）
📝 此題為申論題，共 4 小題

小題 (一)

當u(t)為任意時間函數時，其輸出為何？（8 分）

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  1. 辨識題幹資訊：已知「單位階梯輸入」之響應為 $c(t) = 1-e^{-3t}$。
  2. 轉換概念：系統的脈衝響應（Impulse Response）$h(t)$ 是單位階梯響應對時間的導數。
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【考點分析】 本題考查線性非時變系統（LTI system）在時域中的輸入輸出關係，重點在於單位階梯響應、脈衝響應與迴旋積分的應用。 【理論/法規依據】

小題 (二)

如圖右實施 Laplace 轉換求解C(s)時，其中G(s)為何？ u(t)的限制條件為何？（7 分）

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  1. 辨識考點：頻域轉移函數（Transfer Function）的定義與拉氏轉換的存在條件。
  2. 求取 $G(s)$：可由 $h(t)$ 進行拉氏轉換，或由已知 $c(t)$ 與 $u(t)$ 的轉換結果相除。
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【考點分析】 本題考查拉普拉斯轉換（Laplace Transform）在系統建模中的應用，以及函數可進行拉氏轉換的基本限制條件。 【理論/法規依據】

小題 (三)

該系統微分方程式為何？（5 分）

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  1. 辨識考點：轉移函數與時域微分方程式的相互轉換。
  2. 操作步驟：利用 $C(s)/U(s) = G(s)$，交叉相乘後取拉氏逆轉換（Inverse Laplace Transform）。
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【考點分析】 本題考查系統從頻域模型（轉移函數）還原回時域模型（線性常微分方程式）的能力。 【理論/法規依據】

小題 (四)

依據(一)的解，如果用數值模擬，讓 t = kT，3T≪1，寫成 c(k) = βc(k–1) +3Tu(k)，β 為何？（5 分）

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  1. 辨識考點：連續系統的離散化（Discretization），通常採用數值積分或差分法。
  2. 分析微分方程：從 $\dot{c}(t) = 3u(t) - 3c(t)$ 切入。
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【考點分析】 本題考查微分方程式的數值近似處理，涉及離散化方法（如 Euler's Method）。 【理論/法規依據】

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