高考申論題
111年
[機械工程] 自動控制
第 一 題
📖 題組：
對於一轉移函數，G(s) = C(s)/R(s) = 3 / ((s^2 + 1)(s + 3)) ： (一) 當輸入 r(t) 為單位脈衝函數，試推導其輸出 c(t) 之時間函數，並說明該輸出為何會振個不停。（10 分） (二) 當輸入為 r(t) = δ(t) + t，試推導其輸出 c(t) 之時間函數，並說明該輸出為何會不振。（15 分）
對於一轉移函數，G(s) = C(s)/R(s) = 3 / ((s^2 + 1)(s + 3)) ： (一) 當輸入 r(t) 為單位脈衝函數，試推導其輸出 c(t) 之時間函數，並說明該輸出為何會振個不停。（10 分） (二) 當輸入為 r(t) = δ(t) + t，試推導其輸出 c(t) 之時間函數，並說明該輸出為何會不振。（15 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
當輸入 r(t) 為單位脈衝函數，試推導其輸出 c(t) 之時間函數，並說明該輸出為何會振個不停。（10 分）
思路引導 VIP
首先，辨識輸入函數與其拉氏轉換：單位脈衝函數 δ(t) 的拉氏轉換為 1。接著，利用輸出 C(s) = G(s)R(s) 的公式得到輸出端頻譜。隨後，進行「部分分式展開法」，將複雜的轉移函數分解為可查表的簡單項。最後，觀察極點（Poles）位置。如果系統在虛軸上有共軛極點，且沒有負實部（即無阻尼作用），則其對應的時間響應會呈現不衰減的正弦振盪。這就是「振個不停」的物理意義。
小題 (二)
當輸入為 r(t) = δ(t) + t，試推導其輸出 c(t) 之時間函數，並說明該輸出為何會不振。（15 分）
思路引導 VIP
這題是第一題的變化。首先轉換輸入函數：r(t) = δ(t) + t 轉為 R(s) = 1 + 1/s^2 = (s^2 + 1) / s^2。將此 R(s) 乘上 G(s) 時，會發現一個關鍵現象：輸入的零點（Zeros）正好與系統的虛軸極點相互抵銷（Pole-Zero Cancellation）。這會導致最終的輸出頻譜 C(s) 中不再含有導致振盪的 s^2 + 1 項。從極點的角度解釋為何振盪消失是本題得分關鍵。