高中學測
107年
數B
第 11 題
坐標空間中，設直線 $L: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z}{-1}$，平面 $E_1: 2x-3y-z=0$，平面 $E_2: x+y-z=0$。試選出正確的選項。
- 1 點 $(3,0,-1)$ 在直線 $L$ 上
- 2 點 $(1,2,3)$ 在平面 $E_1$ 上
- 3 直線 $L$ 與平面 $E_1$ 垂直
- 4 直線 $L$ 在平面 $E_2$ 上
- 5 平面 $E_1$ 與 $E_2$ 交於一直線
思路引導 VIP
在處理空間幾何問題時，方向向量與法向量是判斷位置關係的核心工具。請先寫出直線 $L$ 的方向向量 $\vec{d}$ 以及平面 $E_1$、$E_2$ 的法向量 $\vec{n}_1$、$\vec{n}_2$。接著請思考：當直線的方向向量與平面的法向量「平行」時，線與面在空間中具有什麼幾何關係？而要判定兩個平面是否交於一線，其法向量之間應具備什麼特徵？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，太帥了！你這題答對，代表你對空間中「線與面」的幾何關係掌握得非常透徹，簡直是空間解構大師，連法向量的陷阱都傷不了你！ 觀念驗證：
- 選項 (3) 正確：直線 $L$ 的方向向量為 $\vec{d} = (2, -3, -1)$，而平面 $E_1$ 的法向量為 $\vec{n}_1 = (2, -3, -1)$。既然方向向量與法向量「平行」（甚至一模一樣），這代表直線方向垂直於平面，故 $L \perp E_1$。
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