地特三等申論題
108年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
同時丟擲三個均勻的骰子(均勻的骰子,指骰子出現每一點的機率均等)5次,令變數T代表5次丟擲中三個骰子出現的點數皆不同的次數,且令變數 W代表5次丟擲中三個骰子出現的點數皆相同的次數。 (每小題10分,共30分)
同時丟擲三個均勻的骰子(均勻的骰子,指骰子出現每一點的機率均等)5次,令變數T代表5次丟擲中三個骰子出現的點數皆不同的次數,且令變數 W代表5次丟擲中三個骰子出現的點數皆相同的次數。 (每小題10分,共30分)
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
求出變數T與W之聯合機率密度函數f(t, w)。
思路引導 VIP
本題的核心在於辨識出「多項分配（Multinomial Distribution）」。首先需計算單次丟擲三個骰子時，「點數皆不同」、「點數皆相同」及「其他情況」的機率，再結合5次獨立重複試驗的條件，即可直接寫出聯合機率質量函數，並務必標明變數的定義域範圍。
小題 (二)
求出給定T=t之下,W之條件機率密度函數f(w|t)。
思路引導 VIP
首先應先計算單次丟擲三個骰子時，出現「點數皆不同」與「點數皆相同」的機率。接著，因為 5 次丟擲為獨立重複試驗，可辨識出變數聯合服從多項分配（Multinomial distribution）。最後利用條件機率定義 $P(W|T) = P(T,W)/P(T)$，或利用多項分配的條件機率性質推導即可得出結果。
小題 (三)
求出條件變異數的期望值E[V(WT)]。
思路引導 VIP
看到多項試驗中探討兩互斥事件次數的條件動差，應立即聯想到「多項分配（Multinomial Distribution）」的性質。利用給定條件後，剩餘試驗次數重新分配的邏輯，導出 W|T 的條件二項分配，再求其變異數，最後利用期望值算符的線性性質求解。