地特四等申論題
108年
[水利工程] 水資源工程概要
第 三 題
📖 題組：
為保護洪水平原上若干住家之安全興建一臨時性防洪圍堤，已知該堤牆之設計流量足以防禦 20 年洪水，又四年後該處住家即遷移他處，試求：（每小題 4 分，共 20 分） (一) 在未遷移期間內，堤牆安全之機率。 (二) 在四年內，堤牆會被沖毀之機率。 (三) 堤牆在前三年安全，第四年被破壞的機率。 (四) 在四年內，堤牆只會被沖毀一次之機率。 (五) 在四年內至少會被沖毀三次的機率。
為保護洪水平原上若干住家之安全興建一臨時性防洪圍堤，已知該堤牆之設計流量足以防禦 20 年洪水，又四年後該處住家即遷移他處，試求：（每小題 4 分，共 20 分） (一) 在未遷移期間內，堤牆安全之機率。 (二) 在四年內，堤牆會被沖毀之機率。 (三) 堤牆在前三年安全，第四年被破壞的機率。 (四) 在四年內，堤牆只會被沖毀一次之機率。 (五) 在四年內至少會被沖毀三次的機率。
📝 此題為申論題，共 5 小題
小題 (三)
堤牆在前三年安全，第四年被破壞的機率。
思路引導 VIP
看到此題，應先辨別屬於「特定發生順序」的獨立事件機率問題。先求出單一年度破壞機率（p=1/T）與安全機率（q=1-p），再依照題目指定的時間順序（安全、安全、安全、破壞）將機率連乘（q³×p），注意此處順序已固定，故不可乘上排列組合的二項式係數。
小題 (一)
在未遷移期間內，堤牆安全之機率。
思路引導 VIP
本題考查水文統計中的「風險與可靠度」計算。看到重現期距（T=20年）與工程年限（n=4年），應立即聯想到二項式分配，每年發生的機率為 P=1/T，每年安全的機率為 1-P，連續 n 年均安全的機率即為 (1-P)^n。
小題 (二)
在四年內，堤牆會被沖毀之機率。
思路引導 VIP
判斷『在 n 年內會被沖毀之機率』即為水文風險（Risk）的定義，代表在 n 年內『至少發生一次破壞』的機率。利用二項式分配，以全部機率（1）扣除『n 年內皆安全（均未被破壞）』的機率即可求解。
小題 (四)
在四年內，堤牆只會被沖毀一次之機率。
思路引導 VIP
看到「在特定年限內恰好發生幾次」的機率問題，應立即聯想到二項分佈公式：$P(X=x) = C^n_x P^x Q^{n-x}$。先由重現期求出單年破壞機率 P 與安全機率 Q，再代入給定的年限 n=4 與發生次數 x=1 進行計算即可。
小題 (五)
在四年內至少會被沖毀三次的機率。
思路引導 VIP
本題測驗水文頻率分析中的「二項式分配（Binomial Distribution）」應用。「至少被沖毀三次」代表在四年內被沖毀 3 次與被沖毀 4 次兩種情況，須將此兩種情況的機率相加。
水文風險與重現期計算
💡 利用重現期與獨立事件原理計算特定序列的水文風險。
🔗 特定順序風險計算流程
- 1 求單年機率 — 依重現期 $T=20$ 求出 $p=0.05$ 與 $q=0.95$
- 2 排列序列機率 — 依題意排列：前三年安全 ($q^3$) 且第四年破壞 ($p$)
- 3 獨立事件連乘 — 計算 $q \times q \times q \times p$ 即得出該特定路徑機率
- 4 得出風險值 — 計算數值 $0.95^3 \times 0.05 \approx 0.0429$
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🔄 延伸學習：延伸學習：若問四年內「至少」破壞一次，則適用風險函數 $R = 1 - q^n$。
