普考申論題
108年
[機械工程] 機械力學概要
第 一 題
📖 題組：
四、一鋁柱截面積 A = 250 mm2受到 P1 = 7560 N，P2 = 5340 N，及 P3 = 5780 N之作用力。其各段長度分別為 a = 1525 mm，b = 610 mm，及 c = 910 mm。
四、一鋁柱截面積 A = 250 mm2受到 P1 = 7560 N，P2 = 5340 N，及 P3 = 5780 N之作用力。其各段長度分別為 a = 1525 mm，b = 610 mm，及 c = 910 mm。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
若鋁材之彈性模數（modulus of elasticity）為 E = 72 GPa，試求鋁柱之長度改變量（並註明伸長或縮短）。（10 分）
思路引導 VIP
這是一道標準的「材料力學中多段軸向桿件變形」問題。首先，必須掌握「截面法 (Method of Sections)」求取各段桿件的內部軸力。觀察圖示，建議由右向左（自由端 D 往固定端 A）進行截面分析。1. 計算 CD 段內力：從 D 點往左切，CD 段受 P3 拉力。2. 計算 BC 段內力：包含 P3 與 P2，注意方向與符號（拉力為正，壓力為負）。3. 計算 AB 段內力：包含 P3, P2, P1。接著，套用一維軸向變形公式 $\delta = \sum \frac{N_i L_i}{A E}$。請特別注意單位的一致性！建議將 E 的單位從 GPa 轉為 MPa (N/mm^2)，將所有長度保留 mm，力為 N，這樣算出來的變形量單位直接就是 mm。最後，計算出總和若為正即為伸長，負即為縮短。
小題 (二)
若僅改變 P3值，試問 P3應為多少，才會導致鋁柱總長度不變？（10 分）
思路引導 VIP
本子題延續第一小題的觀念，將題目設定為「總變形量等於零 ($\delta_{total} = 0$)」，反求未知的外力 $P_3'$。解題步驟：1. 用未知的變數 $P_3'$ 重新表達各區段的內部軸向力 $N_{CD}$、$N_{BC}$、$N_{AB}$。2. 因為 $AE$ 於整根桿件皆為常數，所以在等式 $\sum N_i L_i = 0$ 中，$AE$ 會被消掉。3. 建立一元一次方程式：$(P_3')c + (P_3' - P_2)b + (P_3' - P_2 - P_1)a = 0$。4. 展開代入已知的長度和受力，求解 $P_3'$。這考驗考生的代數整理能力與仔細程度。