第 三 題

看到不同平均數與標準差的數值要比較「相對位置」時，首要反應是計算「標準分數（Z分數）」。透過公式 Z = (X - μ) / σ 將原始資料標準化，轉換為以標準差為單位的數值，Z分數越大代表相對位置越高。

看到本題，首先要辨識出考點在於「敘述統計學」中基礎圖表的適用時機。思考方向應從「資料型態」切入。直方圖適用於什麼資料？長條圖又適用於什麼資料？接著說明圖形外觀上的差異（有無間隙），以及X軸所代表的統計意義。這是一道基本名詞解釋題，條理分明地列點說明即可，建議作答時間控制在3分鐘內。

本題給了平均數(μ=76)、標準差(σ=8)以及欲求值(X=60)。關鍵字在於「呈鐘形分布」且未附標準常態分配表。這強烈暗示必須使用「經驗法則（Empirical Rule）」來解題。首先計算 60 分距離平均數有幾個標準差（Z分配）。發現剛好是兩個標準差（76 - 2*8 = 60）。接著回想經驗法則中，正負兩個標準差涵蓋的比例（約95%），再推算單邊尾部的機率即可。

遇到隨機變數函數求期望值的題型，應直覺想到期望值的線性運算性質或無意識統計學家法則（LOTUS）。本題可將 E(Y) 拆解為 E(X^2) + 2E(X) + 1，或將 Y 配方成 (X+1)^2 後直接代入機率表計算，兩步驟展開能確保計算過程嚴謹且不易出錯。