地特四等申論題 108年 [統計] 統計學概要

第一題

📖 題組：
令隨機變數 X 為具有期望值等於µ，變異數等於σ²的常態分配。

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (一)

若 X 的第 20 百分位數（the 20-th percentile）為 2.5，第 60 百分位數（the 60-th percentile）為 5.5，試求µ及σ 。（5 分）

看到常態分配與百分位數，應立即聯想到「標準化（Standardization）」公式 $Z = (X - \mu) / \sigma$。將題意轉換為標準常態分配累積機率等式後，透過查表取得對應的 Z 值，即可建立包含未知數 $\mu$ 與 $\sigma$ 的二元一次聯立方程式來求解。

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【解題思路】利用常態分配的標準化轉換 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，將百分位數條件轉換為二元一次聯立方程式求解。【詳解】已知隨機變數 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$。

從上述常態分配之母體隨機抽取 4 個樣本，並計算其樣本平均數。試求樣本平均數大於µ +σ 的機率為何？（7 分）

本題重點在於「常態母體的抽樣分配」與「標準化」。看到題目要求樣本平均數的機率，應立即聯想先求出樣本平均數 $\bar{X}$的期望值與變異數，接著透過 Z 分數公式將目標值轉換為標準常態分配，即可利用常態分配表求出對應機率。

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【解題關鍵】利用常態母體樣本平均數的抽樣分配性質，確認期望值與變異數後，將樣本平均數標準化為標準常態變數 Z 來計算機率。【解答】 Step 1：確立樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分配

從上述常態分配之母體隨機抽取 1 個樣本，若此樣本與平均數的距離小於σ，則可以獲得 1 元的獎金；若此樣本與平均數的距離介於σ至2σ 之間，則可以獲得 100 元的獎金；若此樣本與平均數的距離大於2σ 以上，則可以獲得 1000 元的獎金。試計算期望獲得的獎金為何？（8 分）

本題測驗常態分配的機率計算與隨機變數的期望值定義。首先應將常態變數標準化，再利用標準常態分配表查出各個距離區間的機率，最後將各區間機率乘上對應獎勵金額，求和即可得到期望值。

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【解題關鍵】利用標準常態變數轉換求出各獎金對應之機率區間，再代入離散型隨機變數期望值公式進行計算。【解答】計算：

累積標準化常態機率表