普考申論題 114年 [統計] 統計學概要

第一題

📖 題組：
甲市警察局研究酒駕年齡之分布，已知其平均數為 42 歲。（每小題 10 分，共 20 分）

📝 此題為申論題，共 2 小題

小題 (一)

若酒駕年齡服從常態分配，且介於 34 至 50 歲者占五成，試問酒駕者中 60 歲以上者占多少比例？

看到常態分配且已知對稱區間的機率，首先要想到利用「標準化」與常態分配的「對稱性」反推未知的標準差（σ）。求出標準差後，再針對目標年齡（60歲以上）進行標準化，並查常態分配表求出機率即可。

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【解題關鍵】利用常態分配的對稱性與標準化公式 Z = (X - μ) / σ，先反推未知標準差 σ，再計算目標機率。【解答】已知：酒駕年齡 X ~ N(μ, σ²)，平均數 μ = 42，且 P(34 < X < 50) = 0.5。

若酒駕年齡之分配未知，試問酒駕者中 60 歲以上者占多少比例？

看到題目中「分配未知」且「僅給定平均數」時，若隨機變數具有非負特性（如年齡），應直覺聯想到「馬可夫不等式 (Markov's Inequality)」。利用此不等式即可在缺乏變異數的情況下，推導出大於某特定數值的機率（比例）上限。

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【解題思路】利用馬可夫不等式 (Markov's Inequality) 求取非負隨機變數在僅知平均數情況下的機率上限。【詳解】已知：

附表一：z 表附表二：t 表附表三：χ2 表附表四：F 表附表五：F 表