第 四 題

這是一個標準的常態機率應用題。已知 μ 和 σ，求 P(X > 80)。解題順序：1. 將 80 分標準化為 Z 值。2. 查表得出累積機率。3. 計算大於 80 分的機率。4. 將機率乘上總人數 2500，得出最終人數（記得四捨五入取整數，因為人數無法分割）。

看到「常態分配」首先要聯想到其最重要的特性：對稱性。常態分配為鐘形對稱曲線，因此它的平均數、中位數、眾數是相同的。題目給了「第二四分位數 (Q2)」即為中位數，利用這個性質即可直接推導出母體平均數 μ 的值。這是一個送分題，重點在於說明「為何」兩者相等。

這題延續前一小題的「對稱性」概念。Q2 是中心點，Q1 位於左半邊中點，Q3 位於右半邊中點。在常態分配中，Q1 到中位數 (Q2) 的距離，必然等於中位數 (Q2) 到 Q3 的距離。既然已知 Q2 和 Q3，利用等距關係就能解出 Q1。

要求母體標準差 σ，且已知常態分配的某個數值(Q3)及其對應的百分位(75%)，這時必須使用「標準化 (Z-score)」公式：Z = (X - μ) / σ。步驟為：先查標準常態表找出累積機率 0.75 對應的 Z 值，然後代入公式解未知數 σ。