高考申論題
108年
[工業工程] 工程統計學與品質管制
第 一 題
📖 題組：
考慮一個玩家與一個莊家的賭局如下： A.玩家出「正」或「反」的機率分別為 p1與 1- p1 B.莊家出「正」或「反」的機率分別為 p2與 1- p2 C.令 W 表示玩家所得的錢，玩家與莊家在 4 種情境下的 W 見表 1 表 1：玩家所得的錢 玩家 正 反 莊家 p1 1- p1 正 p2 3 -2 反 1- p2 -2 1 回答下列問題：
考慮一個玩家與一個莊家的賭局如下： A.玩家出「正」或「反」的機率分別為 p1與 1- p1 B.莊家出「正」或「反」的機率分別為 p2與 1- p2 C.令 W 表示玩家所得的錢，玩家與莊家在 4 種情境下的 W 見表 1 表 1：玩家所得的錢 玩家 正 反 莊家 p1 1- p1 正 p2 3 -2 反 1- p2 -2 1 回答下列問題：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
玩家所得的錢 W 的機率模型為何？（5 分）
思路引導 VIP
看到本題，首先要辨識出這是「離散型隨機變數的機率分配」考點。接著應該從「獨立事件的聯合機率」角度切入，因為玩家與莊家出正反面的決策是獨立的。你需要列出隨機變數 W 所有可能的值（3, -2, 1），並計算其對應的機率。特別注意 W = -2 有兩種組合（正反、反正），必須將這兩種情況的機率相加。時間分配建議：3分鐘內列式完成。
小題 (二)
玩家期望所得的錢為何？（5 分）
思路引導 VIP
本題承接上一小題，考查「期望值（Expected Value）」的定義。你只需套用離散型隨機變數的期望值公式 $E(W) = \sum W \cdot P(W)$。將上一題算出的 W 值與其對應機率相乘後加總，然後進行代數展開與化簡。重點在於代數計算的正確性，建議將 $p_1$ 提出來整理成較乾淨的多項式形式。時間分配建議：3分鐘。
小題 (三)
對莊家而言是否存在某策略（也就是 p2在某區間）可使玩家期望所得為負？若是該策略存在，寫出該策略（即 p2的區間）。（10 分）
思路引導 VIP
這是一道賽局理論（Game Theory）結合最佳化思維的題目。要如何保證「玩家期望所得為負」，且「不論玩家怎麼出（即不論 $p_1$ 是多少）」？
- 首先，將 (二) 算出的 $E(W)$ 看作是 $p_1$ 的函數 $f(p_1)$。