高考申論題
108年
[機械工程] 工程力學(包括靜力學、動力學與材料力學)
第 五 題
五、一圓柱壓力容器受到扭力（torque）T = 90 kN 及彎矩（bending moment）M = 100 kN．m。已知圓柱外徑300 mm，厚度25 mm，內部壓力p = 6.25 MPa。試求圓柱殼上之最大拉應力（tensile stress, σt）、壓應力（compressive stress, σc）及剪切應力（shear stress, τmax）。（20 分）
📝 此題為申論題
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這是一題進階的「組合應力 (Combined Loadings)」與「莫耳圓 (Mohr's Circle)」綜合題。思考步驟：1. 先判斷是薄壁還是厚壁圓筒，內徑半徑 $r/t = 125/25 = 5 < 10$，理論上偏向厚壁，但通常這類考試若無特別指引，可使用薄壁公式估算或直接套用內外表面應力。但由於外表面同時承受最大的彎曲應力與扭轉剪應力，臨界點通常在外表面。2. 計算截面幾何參數（極慣性矩 $J$、慣性矩 $I$）。3. 分別計算三種載重在外表面造成的應力：內壓造成軸向 ($\sigma_L$) 與環向 ($\sigma_h$) 應力、彎矩造成軸向的拉/壓應力 ($\sigma_b$)、扭矩造成剪應力 ($\tau$)。4. 將軸向應力疊加（受拉側相加，受壓側相減），建立應力元素(Stress Element)。5. 代入平面應力主應力公式，計算出受拉側的最大主應力（即最大拉應力）與受壓側的最小主應力（即最大壓應力），並計算最大絕對剪應力。
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【考點分析】 本題綜合考查了壓力容器應力、扭轉剪應力、彎曲應力疊加（疊加原理），以及平面應力狀態下的主應力與最大剪應力分析。需能正確區分各載重產生的應力方向，並找出圓筒表面最危險的臨界點。 【理論/法規依據】
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壓力容器複合應力分析
💡 運用疊加原理統合內壓、彎矩與扭矩，計算臨界點主應力。
🔗 複合應力分析計算流程
- 1 幾何參數 — 計算截面之 I、J 及內外半徑等幾何常數
- 2 載重分析 — 分別求出內壓、彎矩及扭矩產生的各別應力值
- 3 應力疊加 — 於臨界點將軸向應力與彎曲應力進行代數相加
- 4 主應力轉換 — 代入主應力公式求出最大拉、壓與剪應力
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🔄 延伸學習：延伸學習：利用破壞準則（如 Tresca 或 von Mises）判斷容器安全性
