高考申論題
108年
[經建行政] 統計學
第 一 題
📖 題組：
某班級同學同時參加微積分及管理學兩科目考試，兩科目成績平均數及標準差如下表所示： 微積分 管理學 平均數 56 68 標準差 14 10 為了比較結果，我們將微積分的分數（x）進行線性轉換（f (x)=ax+b，此處 a 及 b 為常數），使轉換後的分數之平均數及標準差與管理學分數的平均數及標準差相同。
某班級同學同時參加微積分及管理學兩科目考試，兩科目成績平均數及標準差如下表所示： 微積分 管理學 平均數 56 68 標準差 14 10 為了比較結果，我們將微積分的分數（x）進行線性轉換（f (x)=ax+b，此處 a 及 b 為常數），使轉換後的分數之平均數及標準差與管理學分數的平均數及標準差相同。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
a 及 b 分別為何？（5 分）
思路引導 VIP
看到本題，首先要辨識出這是「隨機變數的線性轉換」基本考點。接著應該從平均數與標準差的線性轉換公式切入。已知標準差不受平移(b)影響，只受乘積(a)的絕對值影響；而平均數則同時受 a 與 b 影響。順序上，先利用標準差等式解出 a（因轉換後分數為正相關，a必為正），再代入平均數等式解出 b。
小題 (二)
相對而言，此班級同學考試原始成績那一個科目分數之離散程度較高？說明理由。（10 分）
思路引導 VIP
看到「相對而言...離散程度較高」，首要辨識出這是「變異係數 (Coefficient of Variation, CV)」的考點。當兩組資料的測量單位不同或平均數差異較大時，不能直接比較標準差，必須使用變異係數來衡量相對離散程度。
小題 (三)
某同學微積分及管理學原始分數分別為 44 分及 54 分，相對而言，此同學那一科考得比較好？為什麼？（10 分）
思路引導 VIP
看到比較同一名學生在兩個不同科目上的表現，立即聯想到「標準分數 (Z-score)」。應分別計算該生兩科成績在各自常態分配(或數據集)中的 Z 分數，Z 分數較大者代表其在該科的相對表現較佳。