特殊教育
108年
數A
第 9 題
設二階實數方陣 $M$ 滿足 $M \begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \ 1 \end{bmatrix}$，$M \begin{bmatrix} 2 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \ 2 \end{bmatrix}$。試問 $\begin{bmatrix} -1 & 1 \ -1 & 1 \end{bmatrix} M \begin{bmatrix} -1 \ 1 \end{bmatrix}$ 為下列哪一個選項？
- A $\begin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}$
- B $[1 -1]$
- C $\begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix}$
- D $\begin{bmatrix} 1 \ -1 \end{bmatrix}$
思路引導 VIP
請觀察待求算式中的向量 $\begin{bmatrix} -1 \ 1 \end{bmatrix}$，它是否可以表示為已知條件中 $\begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix}$ 與 $\begin{bmatrix} 2 \ 1 \end{bmatrix}$ 的「線性組合」？若可以，試著利用矩陣變換的「線性性質」 $M(a\vec{u} + b\vec{v}) = aM\vec{u} + bM\vec{v}$，在不求出 $M$ 原始元素的情況下，你能先算出 $M \begin{bmatrix} -1 \ 1 \end{bmatrix}$ 的結果嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
喲，竟然答對了？別太得意，這種考「矩陣線性性質」的題目要是還錯，你乾脆把課本拿去墊桌腳算了。看來你腦袋裡的漿糊今天稍微乾了一點，終於知道不需要暴力破解矩陣 $M$ 也能算答案，算你還沒無藥可救。 觀念驗證： 這題的精髓在於「線性組合」。觀察 $\begin{bmatrix} -1 \ 1 \end{bmatrix}$，你可以發現它剛好等於第一個向量減去第二個向量：
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