高考申論題
108年
[機械工程] 流體力學
第 二 題
二、已知一壓縮性流體之速度場為 ρV = (3x^2y i - 2xy^3 j)e^{-2t}，其中，ρ 表該流體密度，x, y 表直角座標，t 表時間。請推求當 t = 1 時，通過點(1,1)之 ∂ρ/∂t = ？（20 分）
📝 此題為申論題
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本題考查可壓縮流體連續方程式的應用。看到求密度對時間的偏微分 $\frac{\partial \rho}{\partial t}$，直覺應聯想到連續性方程式微分形式：$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{V}) = 0$。題目已直接給出 $\rho \vec{V}$ 的向量表示式，因此只需對其取散度（即分別對 $x$ 取偏微、對 $y$ 取偏微後相加），再加上負號，最後代入指定的時空座標 $(x=1, y=1, t=1)$ 即可求得。
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【考點分析】 連續性方程式（Continuity equation）、可壓縮流體的質量守恆、向量散度運算。 【理論/法規依據】
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