第 一 題

由 Bode plot 的漸近線變化特徵分析：

1. 起始低頻的斜率為 -20 dB/dec，表示系統有一個位於原點的極點 (pole at origin)，對應轉移函數項 $\frac{1}{s}$。
2. 在 $\omega = 3$ rad/sec 時，斜率由 -20 dB/dec 變為 -40 dB/dec，表示在此處增加了一個實數極點，對應轉移函數項 $\frac{1}{\frac{s}{3} + 1}$。

1. 首先求相位交越頻率 $\omega_{pc}$，即系統相角為 $-180^\circ$ 時的頻率。 $G(j\omega) = \frac{K}{j\omega(1 + j\frac{\omega}{3})(1 + j\frac{\omega}{8})}$ 相角 $\angle G(j\omega) = -90^\circ - \tan^{-1}(\frac{\omega}{3}) - \tan^{-1}(\frac{\omega}{8}) = -180^\circ$