地特三等申論題
109年
[衛生行政] 生物統計學(含流行病學)
第 一 題
衛生福利部國民健康署對體位的分類如下表：
| 成人肥胖定義 | 身體質量指數（BMI）（kg/m2） |
|---|---|
| 體重過輕 | BMI<18.5 |
| 健康體位 | 18.5<=BMI<24 |
| 過重 | 24<=BMI<27 |
| 肥胖 | 27 <= BMI |
若已知某地區成人身體質量指數服從常態分布，平均值為23 kg/m2，標準差為4。
請算出成人身體質量指數的四分位差，及體重過輕、過重與肥胖的比例。
再者，若隨機抽取36位文書工作者測量其體位，得到其平均 BMI 值為26，請計算文書工作者 BMI 平均值的95%信賴區間。（25分）
（ 註 ： Φ(0.25)=0.60, Φ(0.674)=0.75, Φ(0.75)=0.77, Φ(0.95)=0.829, Φ(0.975)=0.835, Φ(1)=0.841, Φ(1.125)=0.87, Φ(1.645)=0.95, Φ(1.96)=0.975 其中Φ為常態分布累積分布函數）
| 成人肥胖定義 | 身體質量指數（BMI）（kg/m2） |
|---|---|
| 體重過輕 | BMI<18.5 |
| 健康體位 | 18.5<=BMI<24 |
| 過重 | 24<=BMI<27 |
| 肥胖 | 27 <= BMI |
若已知某地區成人身體質量指數服從常態分布，平均值為23 kg/m2，標準差為4。
請算出成人身體質量指數的四分位差，及體重過輕、過重與肥胖的比例。
再者，若隨機抽取36位文書工作者測量其體位，得到其平均 BMI 值為26，請計算文書工作者 BMI 平均值的95%信賴區間。（25分）
（ 註 ： Φ(0.25)=0.60, Φ(0.674)=0.75, Φ(0.75)=0.77, Φ(0.95)=0.829, Φ(0.975)=0.835, Φ(1)=0.841, Φ(1.125)=0.87, Φ(1.645)=0.95, Φ(1.96)=0.975 其中Φ為常態分布累積分布函數）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到此題，首要任務是確立隨機變數服從常態分配 X ~ N(23, 4^2)，並利用標準化公式 Z = (X-μ)/σ 配合題幹給定的常態分配累積機率值（Φ）來求解。計算信賴區間時，需注意樣本平均數的標準誤為 σ/√n，並直接代入已知的母體標準差即可求得 95% 信賴區間。
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【解題關鍵】常態分配的標準化 Z = (X-μ)/σ、四分位數與對稱性應用，以及母體平均數信賴區間公式 x̄ ± Z_(1-α/2)(σ/√n)。 【解答】 令隨機變數 X 為該地區成人的身體質量指數 (BMI)，依題意 X ~ N(μ=23, σ^2=4^2)。
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常態分配及區間估計
💡 掌握常態分配標準化、對稱性應用及母體平均數區間估計。
🔗 常態分配問題解題步驟
- 1 確立參數 — 明確標出母體平均數 μ 與標準差 σ。
- 2 標準化 Z 轉換 — 將 X 減去 μ 後除以 σ 得到標準分數。
- 3 機率與分位數 — 依 Z 值查累積分布表或利用對稱性計算。
- 4 區間估計 — 依信心水準選用 Z 臨界值計算平均數區間。
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🔄 延伸學習：延伸學習：當母體標準差未知且樣本較小時，需改用 t 分配進行估計。
