地特四等申論題
109年
[統計] 統計學概要
第 一 題
📖 題組：
二、咖啡豆批發商販售母豆（或稱平豆，為雙核果咖啡豆）、公豆（或稱圓豆，為單核果咖啡豆）以及混合豆（公、母豆以特定比例混合）等三類型咖啡豆。某連鎖咖啡店欲購買一批標示為30%混合咖啡豆（公豆顆數約30%），透過重量推估，這批貨約 N 顆咖啡豆，為確保品質（公豆比例超過30%），採購經理先隨機取出100顆混合豆樣本，逐一檢視並記錄其中公豆的個數，記為 x，作為下單決策的參考。假設真正的混合比例為 p，請回答下列問題：
二、咖啡豆批發商販售母豆（或稱平豆，為雙核果咖啡豆）、公豆（或稱圓豆，為單核果咖啡豆）以及混合豆（公、母豆以特定比例混合）等三類型咖啡豆。某連鎖咖啡店欲購買一批標示為30%混合咖啡豆（公豆顆數約30%），透過重量推估，這批貨約 N 顆咖啡豆，為確保品質（公豆比例超過30%），採購經理先隨機取出100顆混合豆樣本，逐一檢視並記錄其中公豆的個數，記為 x，作為下單決策的參考。假設真正的混合比例為 p，請回答下列問題：
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
請以隨機變數的概念，寫出公豆個數X的分配，以及其對應的常態近似分配。（10分）
思路引導 VIP
看到此題，應先辨識出從大母體抽出固定樣本數且探討成功次數的情境，這標準對應到「二項分配」。接著，利用中央極限定理（棣美弗-拉普拉斯定理），寫出當樣本數夠大時，二項分配的期望值與變異數可作為「常態分配」的參數來進行近似。
小題 (二)
經理將透過統計檢定決定是否採購，並希望該決策的錯誤率控制在5%內。請寫出適當的檢定假說、檢定統計量的計算公式、臨界值，以及棄卻域，在x=38下，完成檢定假說並建議經理，是否採購。（15分）
思路引導 VIP
本題測驗大樣本母體比例的單尾假設檢定。首先應根據「確保公豆比例超過30%」設定右尾檢定假說；接著確認樣本數夠大（np>5, n(1-p)>5），採用常態近似法建立Z檢定統計量；最後代入樣本資料計算檢定值，並與臨界值比較以做出採購決策。
📜 參考法條
附表：常態分配表