普考申論題
109年
[經建行政] 統計學概要
第 一 題
📖 題組：
下列是關於條件機率、常態分配及隨機變數之期望值的問題：
下列是關於條件機率、常態分配及隨機變數之期望值的問題：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
假定在一跟肺部有關疾病流行期間，共有3種可能型：A型、B型及C型的肺部疾病。其中染病病人得病機率分別是得A型肺部疾病機率為0.6、B型肺部疾病機率為0.3，而C型肺部疾病機率為0.1。這三型肺部相關疾病皆可能有發燒及咳嗽的症狀，其中A型病人中20%有發燒症狀，B型病人中60%有發燒症狀，而C型病人中80%有發燒症狀；而且50%的A型病人有咳嗽症狀，35%的B型病人有咳嗽症狀，25%的C型病人有咳嗽症狀。現有一染病病人有發燒症狀，請分別算出此病人得這三型肺部疾病的機率並決定這病人最可能得那一型的肺部疾病。（5分）
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看到本題，首先要辨識出這是「貝氏定理（Bayes' Theorem）」與「全機率定理」的經典考題。題目雖然給了咳嗽的機率，但最後的問題只問「有發燒症狀」，因此咳嗽的數據是干擾項。解題順序應為：1. 列出事前機率P(A)、P(B)、P(C)與條件機率P(發燒|A)、P(發燒|B)、P(發燒|C)。2. 利用全機率定理算出P(發燒)。3. 利用貝氏定理分別計算在發燒條件下得A、B、C型的後驗機率。4. 比較三個機率大小並得出結論。時間分配建議3-4分鐘完成。
小題 (二)
某一大型家電公司其某款售出產品之可用時間服從一平均值為μ（年）且變異數為2.25（年2）的常態分配。已知此產品可用超過5年的機率為0.025，請算出μ的值及此產品可用時間不超過6個月的機率。（5分）
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本題測驗常態分配的標準化操作。首先要注意變異數是2.25，所以標準差σ是1.5。已知右尾機率P(X>5)=0.025，對應的標準常態分配Z值可以查表或記憶（為1.96）。透過標準化公式(X-μ)/σ = Z 解出未知的平均數μ。接著第二步，計算「不超過6個月」的機率，這裡有陷阱：單位必須統一為「年」，所以6個月等於0.5年。將X=0.5代入標準化公式求出新的Z值，再查附表一得出機率。
小題 (三)
一家口罩廠商得到一筆從某政局不穩定國家所下總值5千萬元的訂單，給定有0.7的機率此廠商可收到此5千萬元訂單付款，有0.15的機率僅可收到3千萬元付款，有0.1的機率僅可收到1千萬元付款，有0.05的機率收不到任何付款。為保險起見，此廠商投保某一意外險，並先支付1千萬元保費，承保之保險公司將支付此公司應收款項不足的任何差額。如果隨機變數X代表此口罩廠商最終在此投保所花費或賺到的金額。請算出X的期望值E(X)。（5分）
思路引導 VIP
此題表面上考期望值，實則考驗邏輯與對題意的理解。題目表明保險公司會「支付此公司應收款項不足的任何差額」，這代表無論訂單付款情況為何，加上保險理賠後，總收入必定會補齊到原訂單總值（5千萬元）。因此，最終的淨收益（或花費）X ＝ 總收入 － 保費支出。因為總收入已被保險完全鎖定，X 將是一個常數，計算其期望值也就是該常數本身。
📜 參考法條
附表一：標準常態分配表