第 一 題

「羅士比數（Rossby number，符號為 $R_o$）」指流體運動中「慣性力」與「科氏力」大小的無因次比值，數學定義式為 $R_o = \frac{U}{fL}$（其中 $U$ 為水平特徵速度，$L$ 為水平特徵長度尺度，$f$ 為科氏參數）。特徵包含：(1) 當 $R_o \ll 1$ 時，代表科氏力佔主導地位，大氣運動趨近於「地轉平衡」，如大尺度綜觀天氣系統（中緯度溫帶氣旋）；(2) 當 $R_o \gg 1$ 時，慣性力（或離心力）主導，地球自轉的科氏力效應可忽略，如微尺度系統（龍捲風）；(3) 當 $R_o \sim 1$ 時，兩力皆不可忽略，需考慮非線性平流項或梯度風平衡，如中尺度對流系統或颱風核心區域。實務應用為大氣動力學中「尺度分析（Scale Analysis）」的核心參數，藉此判斷是否能將納維-斯托克斯方程式（Navier-Stokes equations）予以簡化（如推導準地轉系統理論）。

「旋轉風（cyclostrophic wind）」是指在大氣水平運動中，當「氣壓梯度力」與「離心力」達到完全平衡時的理想風場。此時科氏力因系統的空間尺度極小而可忽略不計（即高羅斯貝數，Ro ≫ 1）。 特徵包含：

1. 動力方程式：在自然座標系之法向（n方向）動量方程式可簡化為 $\frac{V^2}{R} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial n}$。其中，$V$ 為旋轉風速，$R$ 為軌跡曲率半徑，$-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial n}$ 為指向中心之氣壓梯度力，$\frac{V^2}{R}$ 為背離中心之離心力。

「混合長度理論（mixing length theory）」由 Prandtl (1925) 提出，為大氣邊界層中用於參數化湍流（亂流）通量的經典理論。其物理概念類比分子運動的「平均自由徑」，假設一湍流質塊在垂直移動一段特徵距離 l（即混合長度 mixing length）的過程中，能完全保持其原有的平均動量或標量（如位溫），直到移動了距離 l 後，才瞬間與周圍新環境的流體完全混合。特徵包含： (1) 擾動量估算：基於此假設，水平速度的擾動量可近似為環境平均風切與混合長度的乘積，即 u' $\approx -l \frac{\partial \bar{u}}{\partial z}$。 (2) 渦動黏滯係數：將擾動量代入雷諾應力（Reynolds stress）公式，可將無法閉合的渦動黏滯係數 K_m 參數化為平均風場的函數：K_m = l^2 \left| $\frac{\partial \bar{u}}{\partial z} \right$|。

「地轉風（geostrophic wind）」是指在大尺度、無摩擦的自由大氣中，當「水平氣壓梯度力」與「科氏力」達到精確平衡時所產生的理想水平風場。 一、核心動力方程式 由水平動量方程式出發，忽略加速度項與摩擦力項，可得地轉平衡關係式：