高考申論題
109年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
已知工廠有600位男性操作員及1400位女性操作員。為了解操作員的年齡結構，決定以性別為分層變數，利用分層隨機抽樣法自男、女操作員中共抽出200位調查，且各層樣本數使用比例配置法。調查結果為男操作員平均年齡40.5歲，標準差12.1歲；女操作員平均年齡32.2歲，標準差10.2歲。
已知工廠有600位男性操作員及1400位女性操作員。為了解操作員的年齡結構，決定以性別為分層變數，利用分層隨機抽樣法自男、女操作員中共抽出200位調查，且各層樣本數使用比例配置法。調查結果為男操作員平均年齡40.5歲，標準差12.1歲；女操作員平均年齡32.2歲，標準差10.2歲。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
估計該工廠操作員的平均年齡μ，並求算此平均年齡的95%信賴區間。（10分）
思路引導 VIP
- 抽樣法：分層隨機抽樣 (Stratified Random Sampling)。
- 比例配置：$n_h = n \times (N_h / N)$。男 $n_1 = 200 \times (600/2000) = 60$；女 $n_2 = 200 \times (1400/2000) = 140$。
小題 (二)
男性操作員的年齡差異是否比女性操作員的年齡差異大？（5分）
思路引導 VIP
- 這裡的「差異」在統計學上通常指的是變異程度（變異數或標準差）。
- 比較樣本標準差即可。男 $s_1 = 12.1$，女 $s_2 = 10.2$。
小題 (三)
估計男性操作員與女性操作員之平均年齡差，並求算此平均年齡差的95%信賴區間；且判別男、女操作員的平均年齡差是否有顯著大於6歲？（10分）
思路引導 VIP
- 定義參數：$\hat{d} = \bar{y}_1 - \bar{y}_2$。
- 變異數估計：因為是分層抽樣，各層之間是獨立的，故差異的變異數為各層平均數變異數之和：$\hat{V}(\hat{d}) = \hat{V}(\bar{y}_1) + \hat{V}(\bar{y}_2)$。