高考申論題
109年
[經建行政] 統計學
第 二 題
📖 題組：
三、下列是關於最大概似估計量（maximum likelihood estimator）以及最小變異不偏估計量（minimum variance unbiased estimator）的問題。
三、下列是關於最大概似估計量（maximum likelihood estimator）以及最小變異不偏估計量（minimum variance unbiased estimator）的問題。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
若某一次國家考試其某考試科目共有25題單選題，隨機變數X代表考生答對題數，且X之分配是每題答對機率為 p 的二項式分配（binomial distribution），下列是隨機取得6個考生答對題數資料：
12, 15, 20, 10, 5, 13
根據上述資料，請算出X的標準差之最大概似估計量的值及 p的最小變異不偏估計量的值。（10分）
12, 15, 20, 10, 5, 13
根據上述資料，請算出X的標準差之最大概似估計量的值及 p的最小變異不偏估計量的值。（10分）
思路引導 VIP
本題同時考查二項分配的 MLE 及最小變異不偏估計量 (MVUE)。
- 隨機變數的設定：每位考生的答對題數 $X_i \sim B(25, p)$。共抽樣 $n=6$ 位考生。
小題 (一)
考慮下列隨機變數X其機率密度函數（probability density function）：
f(x)=
(1/√(2πσ²)) * e^[-(x-1)² / (2σ²)] , x ≤ 1
(1/2√(2πσ²)) * e^[-(x-1)² / (8σ²)] , x > 1
其中f₁(x)為一平均值為1及標準差為σ的常態機率密度函數（normal probability density function），而f₂(x)為一平均值亦為1及標準差為2σ的常態機率密度函數。
下列為一組服從上述機率分配所得的隨機樣本：
2, 5, 3, 0, -2, -3, 7
請算出σ²之最大概似估計量的值。（10分）
f(x)=
(1/√(2πσ²)) * e^[-(x-1)² / (2σ²)] , x ≤ 1
(1/2√(2πσ²)) * e^[-(x-1)² / (8σ²)] , x > 1
其中f₁(x)為一平均值為1及標準差為σ的常態機率密度函數（normal probability density function），而f₂(x)為一平均值亦為1及標準差為2σ的常態機率密度函數。
下列為一組服從上述機率分配所得的隨機樣本：
2, 5, 3, 0, -2, -3, 7
請算出σ²之最大概似估計量的值。（10分）
思路引導 VIP
這是一題涉及「分段機率密度函數」的最大概似估計（MLE）問題。
- MLE 的標準程序：寫出概似函數 (Likelihood Function) L → 取自然對數 ln(L) → 對未知參數微分並令其為零 → 解出參數估計值。