地特三等申論題
108年
[經建行政] 統計學
第 二 題
📖 題組：
以下是關於朴松分配（Poisson distribution）以及二項式分配（binomial distribution）的參數估計問題。
以下是關於朴松分配（Poisson distribution）以及二項式分配（binomial distribution）的參數估計問題。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
若隨機變數 $X_1, X_2, ..., X_{10}$ 是彼此獨立且其分配為做一次試驗且成功機率為 0.2 的二項式分配（binomial distribution）。請算出 $S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{10} (X_i - \bar{X})^2}{9}$ 的期望值 $E(S^2)$ 以及 $\sum_{i=1}^{10} X_i^2$ 的變異數 $Var(\sum_{i=1}^{10} X_i^2)$，其中 $\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{10} X_i}{10}$。（10 分）
思路引導 VIP
看到此題，首先應辨識出「做一次試驗的二項分配」即為伯努利分配（Bernoulli distribution）。接著利用兩個關鍵性質解題：一是樣本變異數 $S^2$ 為母體變異數 $\sigma^2$ 的不偏估計量；二是伯努利隨機變數僅取值 0 或 1，故具備 $X_i^2 = X_i$ 的特殊性質，藉此可大幅簡化高階動差的計算。
小題 (一)
若某一速食店一日來客人數服從於平均值為 $\lambda$ （人）的朴松分配（Poisson distribution），以下是隨機收集該速食店 5 日的每日來客人數資料：433 人，375 人，450 人，375 人，367 人。根據上述資料，請算出 $\sqrt{\lambda}$ 的最大概似估計量（maximum likelihood estimator）的值。（5 分）
思路引導 VIP
考生應先寫出獨立樣本下朴松分配的概似函數，透過微分對數概似函數求得參數 $\lambda$ 的最大概似估計量（MLE）。接著，務必標明利用「MLE的不變性（Invariance property）」，推得 $\sqrt{\lambda}$ 的 MLE 為 $\sqrt{\bar{X}}$，最後代入樣本資料計算出最終數值。