地特三等申論題
111年
[統計] 統計學
第 二 題
📖 題組：
三、若隨機變數 Y 為具有參數 n 與 p 的二項分配，定義 p_hat_1 = Y / n 及 p_hat_2 = (Y + 1) / (n + 2) 為 p 的兩個估計量。
三、若隨機變數 Y 為具有參數 n 與 p 的二項分配，定義 p_hat_1 = Y / n 及 p_hat_2 = (Y + 1) / (n + 2) 為 p 的兩個估計量。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
詳細推導 p_hat_1 與 p_hat_2 的均方誤差（mean squares error, MSE）。（15 分）
思路引導 VIP
本題測驗估計量性質的推導。解題關鍵在於熟記均方誤差的分解公式 $\text{MSE}(\hat{\theta}) = \text{Var}(\hat{\theta}) + [\text{Bias}(\hat{\theta})]^2$，並利用二項分配的期望值與變異數，搭配算符的線性性質逐步代入展開即可。
小題 (一)
分別證明 p_hat_1 與 p_hat_2 是否為 p 的不偏估計量。（10 分）
思路引導 VIP
看到「不偏估計量」，首要反應是寫出其數學定義：估計量的期望值必須等於未知的母體參數（即 E(θ̂) = θ）。解題關鍵在於先確認 Y 服從二項分配的期望值 E(Y) = np，接著嚴謹地運用期望值算符的線性性質，分別計算 E(p̂_1) 與 E(p̂_2) 並檢驗是否等於 p。