地特三等申論題
107年
[經建行政] 統計學
第 一 題
📖 題組：
某一箱子有 20 顆球，白球 10 顆，黑球 10 顆。今以取出放回的方式從箱內隨機抽取 3 球。令 X 代表白球的個數。 (一)求 X = 2 的機率，即 P(X = 2)。（5 分） (二)求 X 的動差母函數，即 E[e^{tX}]。（5 分） (三)求 E[X^3]。（5 分） (四)若隨機變數 Y 與 X 獨立且兩者有相同的機率分配，求 E[(X - Y)^3]。（10 分）
某一箱子有 20 顆球，白球 10 顆，黑球 10 顆。今以取出放回的方式從箱內隨機抽取 3 球。令 X 代表白球的個數。 (一)求 X = 2 的機率，即 P(X = 2)。（5 分） (二)求 X 的動差母函數，即 E[e^{tX}]。（5 分） (三)求 E[X^3]。（5 分） (四)若隨機變數 Y 與 X 獨立且兩者有相同的機率分配，求 E[(X - Y)^3]。（10 分）
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
求 X = 2 的機率，即 P(X = 2)。（5 分）
思路引導 VIP
看到「取出放回」且每次試驗結果僅有成功（白球）與失敗（黑球）兩種，應立即聯想到二項分配（Binomial Distribution）。找出試驗次數 n=3 與成功機率 p=0.5 後，直接代入二項分配的機率質量函數（PMF）公式求解即可。
小題 (二)
求 X 的動差母函數，即 E[e^{tX}]。（5 分）
思路引導 VIP
看到「取出放回」且計算白球數（成功次數），應直覺判斷 X 服從二項分配。確認參數 n 與 p 後，即可利用期望值定義搭配二項式定理計算，或直接代入二項分配的動差母函數公式求解。
小題 (三)
求 E[X^3]。（5 分）
思路引導 VIP
本題測驗離散型隨機變數之期望值計算。由於試驗次數 n=3 較小，最直接且不易出錯的方法是先列出所有可能取值（x=0, 1, 2, 3）的機率，再代入期望值定義式 E[X³] = Σx³P(X=x) 求解；亦可利用前一題的動差母函數對 t 微分三次並代入 t=0 求得。
小題 (四)
若隨機變數 Y 與 X 獨立且兩者有相同的機率分配，求 E[(X - Y)^3]。（10 分）
思路引導 VIP
看到兩獨立且同分配 (i.i.d.) 隨機變數相減的高次方期望值，首先想到利用期望值的線性性質將 (X-Y)^3 展開，並套用獨立性以期望值相乘來化簡；或是直接利用 X-Y 分配對稱的特性，推得其奇數階動差必為 0。