高考申論題
111年
[經建行政] 統計學
第 一 題
📖 題組：
假設隨機變數 X 的動差生成函數為 M(t) = 1/8 + (1/2)e^t + (1/4)e^{2t} + (1/8)e^{4t}。令 X_1, X_2, ..., X_{10} 為服從此機率分配之獨立樣本，而 X̄ 為其樣本平均。 (一) 試求 X 之機率分配。（5 分） (二) 試估計 P(X̄ ≥ 2)。（10 分）
假設隨機變數 X 的動差生成函數為 M(t) = 1/8 + (1/2)e^t + (1/4)e^{2t} + (1/8)e^{4t}。令 X_1, X_2, ..., X_{10} 為服從此機率分配之獨立樣本，而 X̄ 為其樣本平均。 (一) 試求 X 之機率分配。（5 分） (二) 試估計 P(X̄ ≥ 2)。（10 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
試求 X 之機率分配。（5 分）
思路引導 VIP
看到動差生成函數 (MGF) 的多項式形式，應立即聯想到「離散型隨機變數」。解題關鍵在於理解 MGF 的定義：M(t) = E[e^{tX}] = Σ e^{tx} * P(X=x)。因此，e^{tx} 項前的係數即為對應 x 值的機率值。考生應將給定的 MGF 拆解，對應出 X 可能取的數值及其機率。
小題 (二)
試估計 P(X̄ ≥ 2)。（10 分）
思路引導 VIP
此題要求樣本平均數 X̄ 的機率。當樣本數 n=10 雖然不算很大，但在高考統計學中，若未指定確切分配，通常考慮使用「中央極限定理 (CLT)」進行近似（儘管 n≥30 為常用準則，但此題給了 z 值參考）。首先需算出 X 的期望值 E(X) 與變異數 Var(X)，進而求出 X̄ 的期望值與標準誤，最後進行標準化以查表求機率。