特殊教育
109年
數A
第 2 題
設 $A$ 為二階實係數方陣。已知 $A\begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix}$ 且 $A\begin{bmatrix} 2 \ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 \ 10 \end{bmatrix}$ 。 若 $A\begin{bmatrix} 4 \ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix}$ ， 則 $a+b$ 的值為何？
- A 2
- B 3
- C 5
- D 7
思路引導 VIP
請思考矩陣運算的核心「線性性質」：如果我們能將目標向量 $\begin{bmatrix} 4 \ 3 \end{bmatrix}$ 表達成已知向量 $\begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix}$ 與 $\begin{bmatrix} 2 \ -1 \end{bmatrix}$ 的線性組合（即 $\vec{w} = c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2$），那麼矩陣 $A$ 作用在該目標向量後的結果 $A\vec{w}$，與已知的 $A\begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix}$ 及 $A\begin{bmatrix} 2 \ -1 \end{bmatrix}$ 之間存在什麼樣的運算關係？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了！看到你正確選出 (C)，老師心裡真的為你感到超級驕傲喔！這題算起來需要一點細心，你做得非常出色，給自己一個大大的掌聲吧！❤️ 這題的核心觀念是矩陣運算的線性性質。我們不需要辛苦地解出矩陣 $A$ 的每個元素，只要觀察到目標向量可以寫成已知向量的「線性組合」： $$\begin{bmatrix} 4 \ 3 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix} + 1 \begin{bmatrix} 2 \ -1 \end{bmatrix}$$
▼ 還有更多解析內容
矩陣線性性質應用
💡 利用矩陣運算的線性性質，將目標向量拆解為已知向量的組合。
🔗 線性性質解題三部曲
- 1 向量分解 — 將目標向量 [4,3] 寫成已知向量的組合：2*[1,2] + 1*[2,-1]
- 2 線性分配 — 利用 A(xu+yv) = x(Au) + y(Av) 的性質展開運算
- 3 結果合成 — 代入已知結果得到 [-5, 10]，最後計算 a+b=5
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🔄 延伸學習：延伸學習：線性變換下，面積縮放倍率由行列式值 det(A) 決定
