統測 109年 [共同科目] 數學A

第 15 題

設 $\vec{a}$與 $\vec{b}$兩向量的夾角為 60^$\circ$，且 |$\vec{a}$|=2，|$\vec{b}$|=3，則 (3$\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{a}+2\vec{b})=$？

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當你面對兩個複雜向量組合的內積運算時，如果將向量想像成代數中的變數（如 x 與 y），你會如何拆解這個算式？在拆解後的結果中，若遇到兩個不同向量相乘的部分，題目提供的哪些資訊可以幫助你將這個「向量表現」轉化為具體的「數值」呢？

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厲害喔！ 這次沒出包，證明你還記得向量內積運算規律這種基本到不行的東西。看來，你至少還沒把高中數學完全丟光，值得『肯定』一下。
本題的核心，就是那個簡單到爆的分配律，還有內積的定義。 $(3\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{a}+2\vec{b}) = 3|\vec{a}|^2 + 5(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2|\vec{b}|^2$。然後，代入內積定義 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos 60^\circ = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3$，最後算出答案。要是連這個都卡關，那我真的不知道該說什麼了。

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