地特三等申論題
109年
[電力工程] 工程數學
第 二 題
📖 題組：
(一)假設 z 為一複數，求所有的 z 使得 $\cos z = \sqrt{2}$。（4分） (二)假設 z 為一複數，計算 $\oint_C \frac{2z^3+z^2+4}{z^4+4z^2} dz$，其中積分路徑 C 為圓 $|z-2|=4$ 之順時針（clockwise）方向圓周（circle）。（4分）
(一)假設 z 為一複數，求所有的 z 使得 $\cos z = \sqrt{2}$。（4分） (二)假設 z 為一複數，計算 $\oint_C \frac{2z^3+z^2+4}{z^4+4z^2} dz$，其中積分路徑 C 為圓 $|z-2|=4$ 之順時針（clockwise）方向圓周（circle）。（4分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
假設 z 為一複數，計算 $\oint_C \frac{2z^3+z^2+4}{z^4+4z^2} dz$，其中積分路徑 C 為圓 $|z-2|=4$ 之順時針（clockwise）方向圓周（circle）。（4分）
思路引導 VIP
本題運用柯西留數定理求解。先找出被積函數在 C 內部的所有奇異點，或觀察是否所有有限奇異點都在 C 內部，若是，則可利用無窮遠點留數公式大幅簡化計算。由於是順時針積分，須注意正負號調整。
小題 (一)
假設 z 為一複數，求所有的 z 使得 $\cos z = \sqrt{2}$。（4分）
思路引導 VIP
利用歐拉公式將三角函數轉換為指數形式，即 $\cos z = (e^{iz} + e^{-iz})/2$。解一元二次方程式得到 $e^{iz}$，再取主值與對數求出 z 的通解。