地特三等申論題
111年
[電力工程] 工程數學
第 二 題
📖 題組：
有一個複變函數f(z)=\frac{1}{z^2+4}，欲對其作曲線積分（contour integration），請回答下列問題： (一)考慮如下所示的曲線：C₁：|z|=3（即以複數平面原點為中心、半徑為 3 的圓），從z=3+0⋅i（i=\sqrt{-1}）逆時針旋轉繞一圈回到原出發點。試問 ∮_{C₁} f(z)dz=？（5分） (二)考慮如下所示的曲線：C₂：|z-i|=2（即以 0+1⋅i為中心、半徑為 2 的圓），從z=0+(-1)⋅i（i=\sqrt{-1}）逆時針旋轉繞一圈回到原出發點。試問 ∮_{C₂} f(z)dz=？（5分）
有一個複變函數f(z)=\frac{1}{z^2+4}，欲對其作曲線積分（contour integration），請回答下列問題： (一)考慮如下所示的曲線：C₁：|z|=3（即以複數平面原點為中心、半徑為 3 的圓），從z=3+0⋅i（i=\sqrt{-1}）逆時針旋轉繞一圈回到原出發點。試問 ∮_{C₁} f(z)dz=？（5分） (二)考慮如下所示的曲線：C₂：|z-i|=2（即以 0+1⋅i為中心、半徑為 2 的圓），從z=0+(-1)⋅i（i=\sqrt{-1}）逆時針旋轉繞一圈回到原出發點。試問 ∮_{C₂} f(z)dz=？（5分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
考慮如下所示的曲線：C₂：|z-i|=2（即以 0+1⋅i為中心、半徑為 2 的圓），從z=0+(-1)⋅i（i=$\sqrt{-1}$）逆時針旋轉繞一圈回到原出發點。試問 ∮_{C₂} f(z)dz=？（5分）
思路引導 VIP
同樣運用柯西留數定理，但這次的積分路徑為 |z-i|=2。檢查奇異點 z=2i 與 z=-2i 中，哪些點落在該圓心在 (0,1) 且半徑為 2 的圓內。只針對內部點計算留數即可。
小題 (一)
考慮如下所示的曲線：C₁：|z|=3（即以複數平面原點為中心、半徑為 3 的圓），從z=3+0⋅i（i=$\sqrt{-1}$）逆時針旋轉繞一圈回到原出發點。試問 ∮_{C₁} f(z)dz=？（5分）
思路引導 VIP
使用柯西留數定理 (Cauchy's Residue Theorem)。先找出函數 f(z) 的奇異點 z = ±2i，判斷它們是否在積分路徑 |z|=3 內部。若在內部，計算留數後相加乘上 2πi。