調查局三等申論題
114年
[電子科學組] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
五、考慮一個複變函數：f(z) = 1 + \frac{1}{z} + \frac{2}{z-1} + \frac{3}{z-i} + \frac{4}{z-(1+i)} + 5z^2 (i = \sqrt{-1})。 在本題目中，我們探討 f(z)在一些封閉曲線上作線積分（line integral）的問題。假設線積分的方向為正向環繞（in positive orientation，也就是逆時鐘旋轉）。（每小題 5 分，共 15 分）
五、考慮一個複變函數：f(z) = 1 + \frac{1}{z} + \frac{2}{z-1} + \frac{3}{z-i} + \frac{4}{z-(1+i)} + 5z^2 (i = \sqrt{-1})。 在本題目中，我們探討 f(z)在一些封閉曲線上作線積分（line integral）的問題。假設線積分的方向為正向環繞（in positive orientation，也就是逆時鐘旋轉）。（每小題 5 分，共 15 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
(一)假設 C_1 : |z| = $\frac{2}{5}$（亦即在複變平面上以原點為中心，以$\frac{2}{5}$為半徑作出的圓）。試求出，\oint_{C_1} f(z)dz = ？
思路引導 VIP
看到複變函數的封閉線積分，首要想到「柯西積分定理」與「留數定理」。先找出函數所有的奇異點，接著計算各奇異點到原點的距離，以判斷哪些奇異點落在給定的封閉曲線 C_1 內部，最後針對內部的奇異點計算留數（或利用柯西積分公式）並乘以 2πi 即可得解。
小題 (二)
(二)假設 C_2 : |z| = $\frac{4}{5}$。試求出，\oint_{C_2} f(z)dz = ？
思路引導 VIP
看到複變函數的封閉曲線積分，首要聯想「柯西留數定理」（Cauchy's Residue Theorem）。先找出函數的所有奇異點，接著判斷哪些奇異點落在積分路徑 C_2 的內部，最後計算這些內部奇異點的留數總和乘以 2πi 即可求解。
小題 (三)
(三)假設 C_3 : |z| = $\frac{6}{5}$。試求出，\oint_{C_3} f(z)dz = ？
思路引導 VIP
首先找出給定複變函數的所有孤立奇異點，並確定其對應的留數（Residue）。接著，精確計算這些奇異點與原點的距離，檢驗有哪些落於積分路徑 $C_3: |z| = 6/5$ 內部，最後運用柯西留數定理（Cauchy's Residue Theorem）計算積分值。