調查局三等申論題
108年
[電子科學組] 工程數學
第 三 題
三、令 $f(z) = \sin^2(z)/(z^2(z^2+4))$。若 $\Gamma$ 為一個包含 $z=0$ 以及 $z=2i$（但不包含 $z=-2i$）之封閉路徑。求解 $\oint_\Gamma f(z)dz$。（20 分）
📝 此題為申論題
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看到封閉路線積分，首選「柯西留數定理」。解題關鍵在於正確判斷路徑內各個奇異點的性質，特別留意 $z=0$ 處因分子 $\sin^2(z)$ 具有泰勒展開特性，實為可去奇異點，留數為零；接著精確計算 $z=2i$ 的簡單極點留數並代入定理即可求解。
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【解題思路】利用柯西留數定理（Cauchy's Residue Theorem）求解封閉路徑積分，關鍵在於正確判斷路徑內各奇異點的性質並計算其留數。 【詳解】 已知：被積函數為 $f(z) = \frac{\sin^2(z)}{z^2(z^2+4)}$，其分母的根發生在 $z=0$（重根）以及 $z^2+4=0 \implies z = \pm 2i$。依據題意，積分路徑 $\Gamma$ 內部僅包含奇異點 $z=0$ 與 $z=2i$。
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柯西留數定理與積分
💡 利用柯西留數定理求解封閉路徑積分，關鍵在於判斷奇異點性質。
🔗 複變路徑積分求解流程
- 1 定位奇異點 — 找出分母為零或不解析之點
- 2 判定路徑範圍 — 篩選出位於 $\Gamma$ 內部的奇異點
- 3 分析奇異點類型 — 確認為極點或可去奇異點
- 4 計算個別留數 — 依類型使用極限公式計算 Res
- 5 定理加總求解 — 將留數和乘以 $2\pi i$ 得結果
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🔄 延伸學習：延伸學習：了解如何利用留數定理處理實數軸上的無限積分。
