調查局三等申論題
106年
[電子科學組] 工程數學
第 三 題
三、試求 \int_0^{2$\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(\theta)} d\theta$之值。（20 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到 0 到 2$\pi$的三角函數定積分，首要直覺應為『單位圓上的複變路徑積分』。利用 z = e^{i$\theta}$變換，將 \cos$\theta$轉為 z 的代數式，再透過尋找單位圓內的極點並計算留數（Residue Theorem），即可將繁瑣的實數積分轉化為簡潔的代數計算。
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【解題思路】利用單位圓變換 z = e^{i$\theta}$，將給定的三角函數定積分轉化為複平面上沿單位圓 |z|=1 的路徑積分，再運用 Cauchy 留數定理求解。 【詳解】 已知：積分式 I = \int_0^{2$\pi} \frac{1}{5 + 4\cos\theta} d\theta$。
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