高考申論題
111年
[電力工程] 工程數學
第 二 題
📖 題組：
在本題目中，我們考慮複變函數（complex-valued function）沿著曲線（contour）做積分（integral）的問題。我們用 $\Gamma$ 代表在複數平面上的單位圓（也就是以座標系的原點為圓心而且半徑為 1 的圓）之中從 $1+i \cdot 0 (i = \sqrt{-1})$ 以逆時針方向繞一圈走回到原出發點的曲線。請計算下列兩個積分的結果。（每小題 6 分，共 12 分）
在本題目中，我們考慮複變函數（complex-valued function）沿著曲線（contour）做積分（integral）的問題。我們用 $\Gamma$ 代表在複數平面上的單位圓（也就是以座標系的原點為圓心而且半徑為 1 的圓）之中從 $1+i \cdot 0 (i = \sqrt{-1})$ 以逆時針方向繞一圈走回到原出發點的曲線。請計算下列兩個積分的結果。（每小題 6 分，共 12 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
\int_{\Gamma} $\frac{1}{z} \, dz =$?
思路引導 VIP
被積函數在原點具有一階極點，利用留數定理或將封閉曲線參數化後直接進行複變積分求值。
小題 (一)
\int_{\Gamma} z \, dz = ?
思路引導 VIP
被積函數為多項式，屬於整函數，利用柯西積分定理（Cauchy's Integral Theorem），解析函數沿封閉曲線的積分為零。