地特三等申論題
110年
[經建行政] 統計學
第 六 題
禮樂餐飲集團想研究南屏縣各大學學生人數與校園周邊餐廳數量的關係，資料如下：
| | 自強 | 樂群 | 真平 | 美樂 | 靜平 | 平均 | 變異數 | 標準差 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 學生數（千） | 5 | 12 | 6 | 10 | 7 | 8 | 8.5 | 2.92 |
| 餐廳數 | 10 | 25 | 12 | 15 | 18 | 16 | 34.5 | 5.87 |
學生數（千）與餐廳數的相關係數約為 0.847。
今若以學生數（千）為解釋變數、餐廳數為反應變數配適一簡單線性迴歸模型，請完成以下之迴歸分析及變異數分析（ANOVA）表格中空格部分（A）至（Q），並請列出必要之計算過程或理由。（15 分）
迴歸分析表：
| | 估計值 | 標準誤 | t-值 | P 值 |
|---|---|---|---|---|
| 截距 | （A） | 5.21 | （B） | 0.6820 |
| 學生數（千） | （C） | （D） | （E） | 0.0702 |
決定係數（Coefficient of determination，R2）=（F）
調整後 R 平方（Adjusted R2） =（G）
變異數分析（ANOVA）表：
| | 自由度 | 平方和（SS） | 均方和（MS） | F 值 | P 值 |
|---|---|---|---|---|---|
| 學生數（千） | （H） | （I） | （J） | （K） | （L） |
| 殘差 | （M） | （N） | （O） | | |
| 總體 | （P） | （Q） | | | |
| | 自強 | 樂群 | 真平 | 美樂 | 靜平 | 平均 | 變異數 | 標準差 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 學生數（千） | 5 | 12 | 6 | 10 | 7 | 8 | 8.5 | 2.92 |
| 餐廳數 | 10 | 25 | 12 | 15 | 18 | 16 | 34.5 | 5.87 |
學生數（千）與餐廳數的相關係數約為 0.847。
今若以學生數（千）為解釋變數、餐廳數為反應變數配適一簡單線性迴歸模型，請完成以下之迴歸分析及變異數分析（ANOVA）表格中空格部分（A）至（Q），並請列出必要之計算過程或理由。（15 分）
迴歸分析表：
| | 估計值 | 標準誤 | t-值 | P 值 |
|---|---|---|---|---|
| 截距 | （A） | 5.21 | （B） | 0.6820 |
| 學生數（千） | （C） | （D） | （E） | 0.0702 |
決定係數（Coefficient of determination，R2）=（F）
調整後 R 平方（Adjusted R2） =（G）
變異數分析（ANOVA）表：
| | 自由度 | 平方和（SS） | 均方和（MS） | F 值 | P 值 |
|---|---|---|---|---|---|
| 學生數（千） | （H） | （I） | （J） | （K） | （L） |
| 殘差 | （M） | （N） | （O） | | |
| 總體 | （P） | （Q） | | | |
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
本題測驗簡單線性迴歸與變異數分析（ANOVA）表的完整建構。考生需先由原始資料算出離均差平方和（Sxx, Syy）及交乘和（Sxy），再利用最小平方法推導出迴歸係數與截距。接著透過平方和分解公式求出各項 ANOVA 指標，並運用單變量迴歸中 t 檢定與 F 檢定的等價關係（F = t^2）秒解部分空格。
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【解題關鍵】利用最小平方法（OLS）公式求出迴歸係數，並透過變異數分析的平方和分解定理（SStot = SSreg + SSres）與自由度關係完成推導。 【解答】 計算：
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