高考申論題
110年
[統計] 抽樣方法
第 四 題
考慮系統抽樣，請導出 rho = [(k-1)nMSB - SST] / [(n-1)SST]，其中 N=nk，rho 是系統樣本（集群）內任 2 元素的相關係數，MSB = [n / (k-1)] * sum_{i=1}^k (y_i_bar - y_bar_bar)^2，MSW = [1 / k(n-1)] * sum_{i=1}^k sum_{j=1}^n (y_ij - y_i_bar)^2，SST = sum_{i=1}^k sum_{j=1}^n (y_ij - y_bar_bar)^2。（10 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
本題考查系統抽樣（可視為一種集群抽樣）中群內相關係數（$\rho$）的代數等價形式推導。解題關鍵在於利用「群內任兩元素交乘積和」的平方展開技巧（即平方和的完全平方展開公式），結合 ANOVA 中組間平方和（SSB）與總平方和（SST）的關係即可輕鬆得證。
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【解題思路】利用群內相關係數（Intraclass Correlation Coefficient, $\rho$）的離差交乘積定義，配合變異數分析的平方和展開技巧進行代數推導。 【詳解】 已知：
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