高考申論題
110年
[統計] 迴歸分析
第 一 題
📖 題組：
某地區房屋成交紀錄包括了房價及坪數等資訊共 70 筆，以坪數為預測變數，簡單線性迴歸預測房價的殘差顯示，變異數並不是常數，如圖 1-1： 將資料依房價排序後，每5筆計算房價平均數及標準差，並分別取其自然對數（LN）值，共14筆，其敘述性統計及相關係數如表1-1a、1-1b。 表 1-1a 敘述統計 表 1-1b 相關 運用上述資訊，Box-Cox 轉換函數進行房價轉換後，以坪數預測房價轉換的殘差，如圖 1-2，迴歸模式的變異數分析表及係數預測的推論如表 1-2a、表 1-2b。
某地區房屋成交紀錄包括了房價及坪數等資訊共 70 筆，以坪數為預測變數，簡單線性迴歸預測房價的殘差顯示，變異數並不是常數，如圖 1-1： 將資料依房價排序後，每5筆計算房價平均數及標準差，並分別取其自然對數（LN）值，共14筆，其敘述性統計及相關係數如表1-1a、1-1b。 表 1-1a 敘述統計 表 1-1b 相關 運用上述資訊，Box-Cox 轉換函數進行房價轉換後，以坪數預測房價轉換的殘差，如圖 1-2，迴歸模式的變異數分析表及係數預測的推論如表 1-2a、表 1-2b。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
請運用表 1-1a、1-1b 的資訊，說明將使用的統計方法，並提出您建議的 Box-Cox 轉換函數為何？（20 分）
思路引導 VIP
看到此題，首先觀察圖 1-1 發現殘差具有「變異數不齊一」的問題（呈漏斗狀擴大）。遇到這類問題且題目提供分組資料的平均數與標準差時，應想到「變異數穩定化轉換」：利用對數轉換後的標準差與平均數進行簡單線性迴歸求出斜率 α，再根據 Box-Cox 轉換的特性推導 λ = 1 - α 來決定最佳的轉換函數。
小題 (二)
轉換後的模式適切性，有那些假設需要驗證？圖 1-2 可以驗證那一項假設？（10 分）
思路引導 VIP
本題測驗線性迴歸的基本假設及殘差診斷的觀念。首先應列出誤差項的五大基本假設（常態性、獨立性、變異數同質性、線性關係、期望值為零）。接著觀察圖1-2（殘差對自變數的散佈圖），並與背景提及的圖1-1（變異數不齊次，呈喇叭狀）做對比，即可指出圖1-2主要是用來驗證「變異數同質性」是否已獲改善，同時也能看出「線性關係」是否適切。
小題 (三)
假設轉換後的模式適切性完全符合，請運用表 1-2a、表 1-2b 的資訊，寫出房子坪數對房價轉換的預測模式，並依照您在第(一)題的建議，改寫出房子坪數對於房價的預測模式，並說明坪數每增加一單位對房價的影響。（10 分）
思路引導 VIP
本題測驗考生對迴歸報表的解讀能力以及對數線性模型（Log-Linear Model）的反轉換與詮釋。解題關鍵在於先由係數表列出轉換後的迴歸式，接著透過指數函數還原為原始變數預測模型，最後利用半對數模型的特性（斜率經過指數轉換後代表變動比例）來精確解釋自變數的邊際效應。